La geometria analitica unisce geometria e algebra: ogni punto del piano si rappresenta con una coppia di numeri (le coordinate), e ogni figura diventa un'equazione.
Il piano cartesiano
- Assi: due rette perpendicolari, asse x (orizzontale) e asse y (verticale).
- Origine O = (0, 0).
- Ogni punto è una coppia ordinata (x, y): es. A = (3, 2).
- 4 quadranti numerati in senso antiorario.
Distanza tra due punti
Dati A = ($x_1$, $y_1$) e B = ($x_2$, $y_2$):
$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
(Da Pitagora applicato al triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi.)
Punto medio
$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$
L'equazione della retta
Forma esplicita
$$y = mx + q$$
- m = coefficiente angolare (pendenza della retta).
- q = ordinata all'origine (dove la retta interseca l'asse y).
Forma implicita
$$ax + by + c = 0$$
(qualunque equazione di primo grado in x e y rappresenta una retta).
Coefficiente angolare m
Date due punti A e B della retta:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
- m > 0 → retta crescente.
- m < 0 → retta decrescente.
- m = 0 → retta orizzontale (y = q).
- m non definito → retta verticale (x = costante).
Esempi
Equazione: $y = 2x + 1$
- m = 2, q = 1.
- Passa per (0, 1) e ha pendenza 2.
Trovare la retta passante per due punti
A = (1, 2), B = (3, 6).
- m = (6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2.
- q si trova sostituendo: $2 = 2(1) + q \Rightarrow q = 0$.
- Retta: $y = 2x$.
Rette parallele e perpendicolari
Parallele
Hanno stesso coefficiente angolare: $m_1 = m_2$.
Perpendicolari
Coefficienti antireciproci: $m_1 \cdot m_2 = -1$. Es. se $m_1 = 2$, allora $m_2 = -1/2$.
Intersezione di due rette
Si risolve il sistema: $$\begin{cases} y = m_1 x + q_1 \ y = m_2 x + q_2 \end{cases}$$
Eguagliando: $m_1 x + q_1 = m_2 x + q_2$, si trova x, poi y.
3 casi possibili
- Una soluzione: le rette si intersecano in un punto.
- Nessuna soluzione: rette parallele non coincidenti.
- Infinite soluzioni: rette coincidenti.
Distanza punto-retta
Data retta $ax + by + c = 0$ e punto P = ($x_0$, $y_0$):
$$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
In pratica
La geometria analitica è strumento di:
- Ingegneria (progettare strutture, calcolare angoli).
- Fisica (moto rettilineo: posizione vs tempo è una retta).
- Computer grafica (ogni linea sullo schermo è un'equazione).
- Economia (rette di tendenza in un grafico).
Saper rappresentare una retta = avere a disposizione uno strumento universale per descrivere il mondo.