In breve: Il calcolo infinitesimale studia come le grandezze cambiano. I suoi tre pilastri sono continuità, derivabilità e integrabilità.
Da dove nasce questa idea
Nel Seicento gli scienziati avevano un problema. Volevano descrivere il movimento dei pianeti e la caduta dei corpi.
Servivano strumenti nuovi per misurare grandezze che cambiano istante per istante. Da qui nasce il calcolo infinitesimale, sviluppato da Newton e Leibniz.
Oggi questo calcolo serve in fisica, economia e ingegneria. Aiuta a capire la velocità di un corpo o l'area di una figura curva.
I tre concetti fondamentali
La continuità descrive funzioni senza salti improvvisi. Se disegni il grafico, non devi mai staccare la penna dal foglio.
La derivabilità misura quanto velocemente una funzione cambia. La derivata in un punto indica la pendenza della curva in quel punto.
L'integrabilità permette di calcolare l'area sotto una curva. Si usa per sommare infinite quantità piccolissime.
Questi tre concetti sono collegati. Una funzione derivabile è sempre continua, ma non vale il contrario.
Esempi pratici
Immagina un'auto che si muove su una strada. La sua posizione nel tempo è una funzione continua.
La sua velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo. Se l'auto accelera, la pendenza del grafico aumenta.
Lo spazio percorso in un'ora è invece un integrale. Sommi tutti i piccoli spostamenti compiuti in ogni istante.
Un altro esempio è il riempimento di una vasca. La quantità totale di acqua è l'integrale della portata nel tempo.
Parole difficili
- Continuità: proprietà di una funzione senza interruzioni nel suo grafico.
- Derivata: rapporto tra variazione della funzione e variazione della variabile.
- Integrale: operazione che calcola la somma di infinite quantità piccolissime.
- Pendenza: inclinazione di una retta o di una curva in un punto.
- Infinitesimo: quantità che tende a diventare piccolissima, vicina a zero.
- Funzione: regola che associa a ogni numero in ingresso un solo numero in uscita.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-scientifico.matematica.cl5.calcolo-infinitesimale.01