In breve: Il metodo assiomatico parte da poche affermazioni di base, dette assiomi, e ne deduce nuove verità con il ragionamento logico.
Che cosa significa "assiomatico"
In matematica non possiamo dimostrare tutto. Dobbiamo partire da alcune affermazioni accettate senza prova.
Queste affermazioni si chiamano assiomi. Sono i mattoni di partenza di una teoria.
Da questi mattoni ricaviamo nuove verità, dette teoremi. Per farlo usiamo regole logiche precise.
Questo modo di costruire la matematica si chiama metodo assiomatico.
Come funziona il metodo
Una teoria assiomatica ha tre ingredienti principali. Servono per evitare ambiguità nel ragionamento.
Primo: i termini primitivi, cioè parole che non si definiscono. Per esempio "punto" e "retta" in geometria.
Secondo: gli assiomi, che fissano le proprietà di base dei termini primitivi.
Terzo: le regole della logica, che servono per ricavare i teoremi passo dopo passo.
Il primo esempio storico è la geometria di Euclide, scritta circa 2300 anni fa. Euclide partì da cinque postulati e costruì tutta la geometria piana.
Nell'Ottocento i matematici hanno capito che si possono cambiare gli assiomi. Cambiando il quinto postulato di Euclide nascono le geometrie non euclidee.
Questo mostra un'idea importante. Gli assiomi non sono verità assolute, ma scelte di partenza. Cambiando le scelte, cambia la teoria.
Perché serve nella modellizzazione
Il metodo assiomatico aiuta a costruire modelli matematici della realtà. Un modello è una descrizione semplificata di un fenomeno.
Esempio quotidiano: il GPS del telefono. Per calcolare le distanze sulla superficie terrestre non basta la geometria di Euclide.
La Terra è curva, quindi serve una geometria diversa, non euclidea. Il sistema sceglie gli assiomi adatti al problema.
Altro esempio: in economia si parte da assiomi sul comportamento dei consumatori. Da questi si deducono leggi sulla domanda.
In ogni caso, scegliamo gli assiomi e poi vediamo quali conseguenze logiche ne derivano.
Esempi e come si fa
Vediamo un mini-esempio con gli assiomi di una struttura semplice. Prendiamo l'insieme dei numeri naturali.
Assioma 1: esiste un numero chiamato zero. Assioma 2: ogni numero ha un successore. Assioma 3: zero non è successore di nessun numero.
Da questi assiomi (di Peano) si costruisce l'aritmetica. Si possono definire somma, prodotto e dimostrare le loro proprietà.
Esercizio guidato: prova a riconoscere termini primitivi e assiomi nella geometria del tuo libro. Cerca le frasi presentate senza dimostrazione.
Domanda di riflessione: se cambiassimo il quinto postulato di Euclide, la somma degli angoli di un triangolo resterebbe 180°? La risposta è no.
Parole difficili
- Assioma: affermazione di base accettata senza dimostrazione.
- Teorema: affermazione dimostrata a partire dagli assiomi.
- Termine primitivo: parola usata in teoria senza essere definita.
- Postulato: sinonimo di assioma, usato spesso in geometria.
- Modellizzazione: costruzione di un modello matematico di un fenomeno reale.
- Geometria non euclidea: geometria che modifica il quinto postulato di Euclide.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-scientifico.matematica.cl5.metodo-assiomatico.01