In breve: Studiamo come descrivere punti, rette, piani e sfere usando tre numeri. Questo permette di unire geometria e calcolo.
Introduzione semplice
Nel piano usiamo due assi per individuare un punto. Servono due numeri: ascissa e ordinata.
Nello spazio reale non basta. Pensiamo a una stanza: per trovare la lampadina servono tre informazioni. La distanza da due pareti e l'altezza dal pavimento.
Per questo aggiungiamo un terzo asse, chiamato asse z. Ora ogni punto ha tre coordinate (x, y, z).
Spiegazione principale
Gli assi x, y e z sono perpendicolari tra loro. Si incontrano in un punto chiamato origine. I tre assi dividono lo spazio in otto regioni, dette ottanti.
Un punto P nello spazio si scrive così: P = (x, y, z). I tre numeri indicano gli spostamenti lungo i tre assi.
Con queste coordinate possiamo descrivere figure geometriche con le equazioni. Una retta, un piano o una sfera diventano formule algebriche.
Per esempio, una sfera con centro nell'origine e raggio r ha equazione x² + y² + z² = r². Ogni punto che soddisfa l'equazione appartiene alla superficie.
Un piano si descrive con un'equazione lineare nelle tre variabili. Una retta si rappresenta come intersezione di due piani.
Questo approccio si chiama geometria analitica dello spazio. Permette di risolvere problemi geometrici con metodi algebrici.
Esempi / come si fa
Esempio 1. Il punto A = (2, 3, 5) si trova così: due passi lungo x, tre lungo y, cinque verso l'alto.
Esempio 2. La sfera di centro origine e raggio 1 ha equazione x² + y² + z² = 1. Il punto (1, 0, 0) appartiene alla sfera perché 1 + 0 + 0 = 1.
Esempio 3. Il piano di equazione z = 0 è il pavimento ideale. Contiene tutti i punti con altezza zero.
Esempio 4. La distanza tra due punti P₁ = (x₁, y₁, z₁) e P₂ = (x₂, y₂, z₂) si calcola con un'estensione del teorema di Pitagora.
Parole difficili
- Coordinate: numeri che individuano la posizione di un punto rispetto agli assi.
- Origine: punto in cui i tre assi cartesiani si incontrano.
- Asse z: terzo asse, perpendicolare al piano formato da x e y.
- Ottante: ciascuna delle otto regioni in cui gli assi dividono lo spazio.
- Equazione: uguaglianza che esprime una relazione tra le coordinate.
- Sfera: insieme dei punti dello spazio equidistanti da un centro fissato.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-scientifico.matematica.cl5.geometria.01