In breve: Un'equazione differenziale lega una funzione incognita alle sue derivate. Serve a descrivere fenomeni che cambiano nel tempo.
Cos'è un'equazione differenziale
Finora hai risolto equazioni dove l'incognita era un numero. In un'equazione differenziale l'incognita è invece una funzione.
L'equazione mette in relazione la funzione cercata con una o più sue derivate. Risolverla significa trovare tutte le funzioni che la rendono vera.
Queste equazioni servono per descrivere come una grandezza varia. Sono fondamentali in fisica, biologia ed economia.
Soluzioni e loro proprietà
Una soluzione è una funzione che, sostituita nell'equazione, la verifica. Spesso le soluzioni non sono uniche, ma formano una famiglia.
Per questo si parla di integrale generale: l'insieme di tutte le soluzioni, dipendente da una o più costanti arbitrarie. Fissando un valore iniziale si ottiene una soluzione particolare.
Una condizione tipica è del tipo y(0) = a. Il problema di trovare la soluzione che la rispetta si chiama problema di Cauchy.
L'ordine dell'equazione è quello della derivata più alta presente. Un'equazione del primo ordine contiene solo y' oltre a y.
Esempi importanti
Esempio 1. L'equazione y' = k·y descrive la crescita esponenziale. Le soluzioni sono del tipo y(x) = C·e^(kx).
Modella la crescita di una popolazione di batteri o il decadimento radioattivo. Il segno di k decide se la grandezza cresce o diminuisce.
Esempio 2. L'equazione y'' + y = 0 è del secondo ordine. Le sue soluzioni descrivono il moto armonico, come quello di una molla.
Esempio 3. Nel mondo reale, se conosci la velocità di raffreddamento di un caffè, un'equazione differenziale ti dice la temperatura ad ogni istante.
Parole difficili
- Derivata: misura quanto velocemente una funzione cambia in un punto.
- Integrale generale: famiglia di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale.
- Soluzione particolare: singola funzione ottenuta fissando le costanti arbitrarie.
- Problema di Cauchy: equazione differenziale con condizioni iniziali assegnate.
- Ordine: numero della derivata più alta che compare nell'equazione.
- Funzione incognita: la funzione da trovare, sconosciuta all'inizio.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-scientifico.matematica.cl5.equazioni-differenziali.01