La derivata è uno dei concetti più importanti della matematica. Misura quanto velocemente cambia una funzione in un punto.
L'idea intuitiva
Immagina un'auto che si muove. La sua posizione cambia col tempo: questa è una funzione $s(t)$.
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La velocità media tra due istanti $t_1$ e $t_2$ è: $$v_m = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$$
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La velocità istantanea in un certo istante è il limite di quella media quando $t_2 \to t_1$. È la derivata della posizione rispetto al tempo: $$v(t) = s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}$$
Definizione formale
Data una funzione $f(x)$, la sua derivata in $x_0$ è:
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
Se il limite esiste finito, la funzione è derivabile in $x_0$.
Interpretazione geometrica
Sulla curva $y = f(x)$, la derivata $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto $(x_0, f(x_0))$.
- Se $f'(x_0) > 0$: la curva è crescente in $x_0$.
- Se $f'(x_0) < 0$: la curva è decrescente.
- Se $f'(x_0) = 0$: c'è un punto stazionario (massimo, minimo o flesso).
Le derivate fondamentali
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (costante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
Regole di derivazione
- Somma: $(f + g)' = f' + g'$
- Costante moltiplicativa: $(k \cdot f)' = k \cdot f'$
- Prodotto: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$
- Quoziente: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
- Catena: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Esempio
Calcolare la derivata di $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$:
$f'(x) = 3 \cdot 2x + 5 - 0 = 6x + 5$
In $x_0 = 2$: $f'(2) = 12 + 5 = 17$.
→ La pendenza della tangente nel punto $(2, 15)$ è 17.
Applicazioni
Fisica
- Velocità = derivata della posizione rispetto al tempo.
- Accelerazione = derivata della velocità rispetto al tempo.
Economia
- Costo marginale = derivata della funzione costo (costo di produrre un'unità in più).
- Ricavo marginale = derivata della funzione ricavo.
Ingegneria
- Tasso di reazione chimica.
- Flusso di corrente in un circuito.
In pratica
La derivata è il linguaggio del cambiamento. Tutto ciò che cresce, decresce, accelera, decelera si esprime con le derivate. È la chiave per capire il calcolo differenziale, che è alla base della fisica moderna, dell'economia, dell'intelligenza artificiale.