La trigonometria (dal greco trigonon = triangolo + metron = misura) è la branca della matematica che studia i triangoli e le funzioni periodiche.
Le funzioni trigonometriche fondamentali
In un triangolo rettangolo con un angolo α (alfa):
- Seno: sin(α) = cateto opposto / ipotenusa.
- Coseno: cos(α) = cateto adiacente / ipotenusa.
- Tangente: tan(α) = cateto opposto / cateto adiacente = sin(α) / cos(α).
Valori notevoli
| α | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Il cerchio trigonometrico
È un cerchio di raggio 1 centrato nell'origine. Un punto P sul cerchio ha coordinate (cos α, sin α) dove α è l'angolo formato col semiasse positivo delle x.
Questo cerchio permette di estendere le funzioni trigonometriche a tutti gli angoli (anche >90° e negativi).
Identità fondamentali
- sin²(α) + cos²(α) = 1 (la più famosa, deriva dal teorema di Pitagora applicato al cerchio).
- tan(α) = sin(α) / cos(α).
- sin(2α) = 2·sin(α)·cos(α).
- cos(2α) = cos²(α) − sin²(α).
- Formule di addizione: sin(α+β), cos(α+β).
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque con lati a, b, c opposti agli angoli A, B, C:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R (dove R è il raggio del cerchio circoscritto).
Teorema del coseno (di Carnot)
Generalizza il teorema di Pitagora a triangoli qualsiasi:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A).
Applicazioni
- Geometria: risolvere triangoli (calcolare lati o angoli mancanti).
- Fisica: vettori, oscillazioni, onde, moti circolari.
- Astronomia: distanze tra stelle e pianeti.
- Architettura: calcolare altezze, pendenze.
- Navigazione: GPS, marina, aviazione.
- Ingegneria: ponti, costruzioni, calcolo di forze.
- Informatica: grafica 3D, animazioni, videogiochi.
Funzioni periodiche
Seno e coseno sono periodiche di periodo 2π (≈360°): si ripetono uguali ogni 360°. Ecco perché modellizzano i fenomeni che si ripetono nel tempo: maree, onde sonore, vibrazioni, corrente alternata.