In breve: Le potenze possono avere esponenti non solo interi, ma anche numeri reali qualsiasi. Si estendono passo dopo passo.
Da dove partiamo
A scuola hai già visto le potenze con esponente intero. Ad esempio, 2³ significa 2·2·2.
Poi hai imparato gli esponenti negativi, come 2⁻¹ che vale 1/2. Hai visto anche l'esponente zero: ogni numero non nullo elevato a 0 dà 1.
Il passo nuovo è ammettere qualsiasi esponente reale. Quindi anche numeri come 1/2, √2 oppure π.
Come si estende il concetto
Per parlare di potenze reali si parte da una base positiva, indicata con a. La base deve essere maggiore di zero per evitare problemi di segno.
Con esponente frazionario si usano le radici. Ad esempio, a^(1/2) corrisponde alla radice quadrata di a. In generale, a^(p/q) è la radice q-esima di a^p.
Quando l'esponente è un numero irrazionale, come √2, si procede per approssimazione. Si calcolano potenze con esponenti razionali sempre più vicini al valore voluto.
Le proprietà restano le stesse delle potenze intere. Il prodotto di potenze con stessa base somma gli esponenti. Il quoziente li sottrae. La potenza di potenza li moltiplica.
Esempi pratici
Esempio 1: calcolare 8^(1/3). L'esponente 1/3 indica la radice cubica. Il risultato è 2, perché 2³ = 8.
Esempio 2: calcolare 9^(3/2). Si applica la regola a^(p/q) = (√a)^p. Otteniamo (√9)³ = 3³ = 27.
Esempio 3: stimare 2^√2. Si usa una calcolatrice scientifica. Il valore approssimato è circa 2,665.
Le potenze reali servono in elettrotecnica per descrivere la crescita o il decadimento dei segnali. Sono utili anche per scale logaritmiche, come quelle dei decibel.
Parole difficili
- Esponente: il numero scritto in alto che indica quante volte moltiplicare la base.
- Base: il numero che viene elevato a potenza.
- Numero irrazionale: numero reale che non si può scrivere come frazione esatta.
- Approssimazione: valore numerico molto vicino a quello esatto, ma non identico.
- Radice q-esima: numero che elevato a q restituisce il valore di partenza.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-elettronica-elettrotecnica.complementi-di-matematica.cl3.potenze-logaritmi.01