In breve: I numeri complessi estendono i numeri reali. Permettono di risolvere equazioni come x² = −1, utili in elettrotecnica.
Cosa sono i numeri complessi
In matematica non possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo usando i soli reali. Per superare questo limite si introduce una unità immaginaria chiamata i.
L'unità immaginaria ha questa proprietà fondamentale: i² = −1.
Un numero complesso si scrive nella forma a + bi. Qui a è la parte reale, mentre b è la parte immaginaria.
Esempio: il numero 3 + 2i ha parte reale 3 e parte immaginaria 2.
Come si opera con i numeri complessi
Con i numeri complessi si possono fare le quattro operazioni di base. Le regole ricordano quelle dei polinomi, ma con una particolarità: ogni volta che compare i² lo sostituiamo con −1.
Somma e sottrazione: si sommano (o sottraggono) separatamente le parti reali e le parti immaginarie.
Moltiplicazione: si applica la proprietà distributiva, come tra binomi. Poi si semplifica usando i² = −1.
Divisione: si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Il coniugato di a + bi è a − bi.
Esiste anche una rappresentazione grafica: ogni numero complesso corrisponde a un punto del piano cartesiano. Sull'asse orizzontale si segna la parte reale, su quello verticale la parte immaginaria.
Esempi pratici
Somma: (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i.
Sottrazione: (5 + 3i) − (2 + i) = 3 + 2i.
Moltiplicazione: (2 + i)(1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i − 3 = −1 + 7i.
Coniugato: il coniugato di 4 + 5i è 4 − 5i.
Divisione: (1 + i) ÷ (1 − i). Moltiplichiamo sopra e sotto per (1 + i). Otteniamo (1 + i)² ÷ (1² + 1²) = (2i) ÷ 2 = i.
Un'applicazione tipica si trova nei circuiti in corrente alternata. Tensioni e correnti si rappresentano spesso con numeri complessi.
Parole difficili
- Unità immaginaria (i): numero il cui quadrato vale meno uno.
- Parte reale: il numero a nella scrittura a + bi.
- Parte immaginaria: il coefficiente b nella scrittura a + bi.
- Coniugato: numero ottenuto cambiando segno alla parte immaginaria.
- Piano complesso: piano cartesiano usato per disegnare i numeri complessi.
- Binomio: espressione algebrica formata da due termini.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-elettronica-elettrotecnica.complementi-di-matematica.cl3.numeri-complessi.02