In breve: Una forma differenziale descrive come piccole variazioni di una grandezza dipendono da piccole variazioni delle cause. Serve a scrivere fenomeni reali con il linguaggio del calcolo.
Cosa significa "forma differenziale"
In matematica usiamo i simboli dx, dy, dt per indicare variazioni molto piccole. Una forma differenziale è una scrittura del tipo f(x) dx. Lega una piccola variazione della causa a una piccola variazione dell'effetto.
Pensa al contachilometri di un'auto. Se viaggi a velocità v, in un piccolo intervallo di tempo dt percorri un piccolo spazio ds. Si scrive così: ds = v dt. Questa è una forma differenziale elementare.
Come si usa nei fenomeni reali
Molti fenomeni fisici sono descritti da relazioni tra grandezze che cambiano. La forma differenziale ci permette di scriverli in modo preciso. Si parte sempre da due passi semplici.
Primo passo: si individua la grandezza che varia e quella da cui dipende. Secondo passo: si scrive la variazione piccola della prima come prodotto di un coefficiente per la variazione piccola della seconda.
Per esempio, il lavoro di una forza costante F su uno spostamento piccolo ds si scrive dL = F ds. Il calore scambiato da un corpo che cambia temperatura di dT si scrive dQ = m c dT, dove m è la massa e c il calore specifico.
Esempi pratici
Esempio 1 — Riempimento di un serbatoio. L'acqua entra con portata q (litri al secondo). In un tempo piccolo dt entra un volume piccolo dV. La forma differenziale è: dV = q dt.
Esempio 2 — Allungamento di una molla. Una molla ha rigidezza k. Per allungarla di un tratto piccolo dx serve una forza F = k x. Il lavoro piccolo è: dL = k x dx.
Esempio 3 — Riscaldamento di un pezzo meccanico. Un blocco di acciaio di massa m assorbe calore. Per una piccola variazione di temperatura dT il calore è: dQ = m c dT.
In tutti i casi la struttura è la stessa: variazione piccola = coefficiente × variazione piccola della causa.
Parole difficili
- Forma differenziale: scrittura matematica che lega variazioni piccolissime di due grandezze.
- Differenziale: variazione molto piccola di una grandezza, indicata con la lettera d.
- Coefficiente: numero o funzione che moltiplica il differenziale nella forma.
- Portata: quantità di fluido che passa in un tempo dato.
- Calore specifico: calore necessario per scaldare un chilogrammo di un grado.
- Rigidezza: grandezza che misura quanto una molla resiste alla deformazione.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-meccanica-meccatronica-energia.complementi-di-matematica.cl3.forma-differenziale.01