In breve: Il metodo dei minimi quadrati serve a trovare la retta che meglio descrive un insieme di dati sperimentali.
A cosa serve
Nei laboratori di meccanica raccogliamo spesso coppie di dati. Per esempio, misuriamo la forza applicata a una molla e il suo allungamento.
I punti misurati non stanno mai perfettamente su una linea. Ci sono piccoli errori di misura e variazioni casuali.
Serve allora un modo per trovare la retta migliore che passa vicino a tutti i punti. Questo strumento si chiama metodo dei minimi quadrati.
Come funziona
Immagina di avere tanti punti su un grafico. Vuoi tracciare una retta che li rappresenti bene.
Per ogni punto calcoli la distanza verticale tra il punto stesso e la retta. Questa distanza si chiama scarto o residuo.
Il metodo cerca la retta che rende minima la somma dei quadrati degli scarti. Si usano i quadrati per due motivi pratici.
Primo motivo: i quadrati sono sempre positivi, così gli errori non si annullano fra loro. Secondo motivo: gli scarti grandi pesano di più di quelli piccoli.
La retta cercata ha equazione y = mx + q. Il metodo fornisce due formule per calcolare m e q a partire dai dati.
Un esempio pratico
In officina misuriamo come si allunga una molla al variare del peso. Otteniamo cinque coppie di valori (peso, allungamento).
Riportiamo le coppie su un grafico cartesiano. I punti si dispongono quasi in linea, ma non perfettamente.
Con il metodo dei minimi quadrati troviamo la retta y = mx + q. Il coefficiente m rappresenta la rigidezza della molla.
Possiamo poi usare la retta per prevedere l'allungamento con un peso non misurato. Questa operazione si chiama interpolazione lineare.
In modo simile, possiamo studiare la relazione tra temperatura e dilatazione di una barra metallica. Oppure tra tensione e corrente in un componente elettrico.
Parole difficili
- Scarto: differenza verticale tra un punto misurato e il valore previsto dalla retta.
- Residuo: altro nome dello scarto, usato in statistica.
- Coefficiente angolare: numero m che indica la pendenza della retta.
- Intercetta: numero q, valore di y quando x vale zero.
- Interpolazione: stima di un valore intermedio fra dati già misurati.
- Regressione lineare: nome generale del procedimento che cerca la retta migliore.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-meccanica-meccatronica-energia.complementi-di-matematica.cl3.minimi-quadrati.01