In breve: Il logaritmo naturale usa come base il numero e ≈ 2,718. Si scrive ln(x) e risponde alla domanda: a quale esponente devo elevare e per ottenere x?
Cos'è il numero e
Il numero e è una costante matematica molto importante. Vale circa 2,718 e ha infinite cifre decimali.
Compare in molti fenomeni naturali. Per esempio nella crescita di popolazioni o nel decadimento di sostanze.
Il logaritmo che usa e come base si chiama logaritmo naturale. Si indica con il simbolo ln(x) invece di log_e(x).
Come funziona ln(x)
Il logaritmo naturale ln(x) è l'inverso della funzione esponenziale e^x. Vale questa relazione: se e^y = x, allora ln(x) = y.
Esistono alcune proprietà di base utili da ricordare. Ln(1) vale zero, perché e elevato a zero dà uno. Ln(e) vale uno, perché e elevato a uno dà e stesso.
Il logaritmo naturale è definito solo per numeri positivi. Non possiamo calcolare ln(0) né ln di un numero negativo.
Valgono anche le regole comuni dei logaritmi. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi. Il logaritmo di una potenza porta fuori l'esponente come fattore.
Esempi pratici
Esempio 1. Calcoliamo ln(1). Cerchiamo l'esponente y tale che e^y = 1. La risposta è y = 0, quindi ln(1) = 0.
Esempio 2. Calcoliamo ln(e²). Applichiamo la regola della potenza: ln(e²) = 2 · ln(e) = 2 · 1 = 2.
Esempio 3. In informatica il logaritmo naturale serve per analizzare la complessità di alcuni algoritmi. Per esempio nella stima del tempo di esecuzione di funzioni ricorsive.
Esempio 4. Un segnale che decade nel tempo segue spesso la legge V = V₀ · e^(-kt). Per trovare il tempo t si usa ln su entrambi i membri.
Parole difficili
- Logaritmo: esponente da dare a una base per ottenere un numero.
- Base: numero fisso che viene elevato a un esponente.
- Esponente: numero che indica quante volte moltiplicare la base.
- Costante: valore numerico fisso che non cambia.
- Funzione inversa: operazione che annulla l'effetto di un'altra funzione.
- Dominio: insieme dei valori ammessi in ingresso a una funzione.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-informatica-telecomunicazioni.complementi-matematica.cl3.potenze-logaritmi.02