In breve: Le potenze possono avere un esponente che è un numero reale qualsiasi. Estendono l'idea di moltiplicazione ripetuta a casi più generali.
Cosa significa "potenza"
Una potenza è un numero scritto nella forma a^x. Il numero a si chiama base. Il numero x si chiama esponente.
All'inizio si studiano potenze con esponente intero positivo. Per esempio, 2^3 significa 2 × 2 × 2 = 8.
Poi si imparano gli esponenti negativi e quelli frazionari. Ora facciamo un passo in più. L'esponente può essere un numero reale qualunque.
Quando l'esponente è reale
Un numero reale può essere intero, frazionario o irrazionale. Per esempio: 2, 1/3, √2, π.
Quando l'esponente è un numero irrazionale, la potenza non si calcola con moltiplicazioni ripetute. Si definisce come limite di potenze con esponenti razionali sempre più vicini.
La base deve essere un numero positivo. Se la base fosse negativa, non si potrebbe sempre definire la potenza per ogni esponente reale.
Le proprietà classiche restano valide. Vale ancora a^x · a^y = a^(x+y). Vale anche (a^x)^y = a^(x·y).
Esempi pratici
Pensiamo a 2^√2. L'esponente √2 vale circa 1,4142. Possiamo calcolare 2^1,4, poi 2^1,41, poi 2^1,414. I risultati si avvicinano a un valore preciso.
Nella vita reale, le potenze a esponente reale servono per descrivere la crescita dei batteri o degli investimenti. Servono anche per misurare il decadimento radioattivo nel tempo.
In informatica, si usano per stimare la complessità di certi algoritmi. Per esempio, un algoritmo può richiedere n^1,58 operazioni.
Un altro esempio: la calcolatrice scientifica calcola 3^π e restituisce circa 31,544. Questo valore si ottiene tramite approssimazioni successive.
Parole difficili
- Base: il numero che viene elevato a potenza.
- Esponente: il numero che indica a quale potenza elevare la base.
- Numero reale: qualunque numero su una retta, intero, decimale o irrazionale.
- Numero irrazionale: un numero con infinite cifre decimali non periodiche.
- Limite: valore a cui una successione di numeri si avvicina sempre di più.
- Crescita esponenziale: aumento molto rapido di una quantità nel tempo.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-informatica-telecomunicazioni.complementi-matematica.cl3.potenze-logaritmi.01