In breve: Le derivate parziali misurano come cambia una funzione di più variabili. Il differenziale totale stima la variazione complessiva.
Introduzione semplice
In matematica studiamo spesso funzioni di una sola variabile, come y = f(x).
Nella realtà però molte grandezze dipendono da più fattori contemporaneamente.
Pensiamo alla resa di una reazione chimica. Essa dipende da temperatura, pressione e concentrazione.
Per studiare queste situazioni servono le funzioni di più variabili, ad esempio z = f(x, y).
Le derivate parziali ci aiutano a capire come cambia la funzione quando varia una sola grandezza per volta.
Spiegazione principale
Consideriamo una funzione z = f(x, y) con due variabili indipendenti.
La derivata parziale rispetto a x si calcola trattando y come una costante.
Si indica con il simbolo ∂f/∂x e misura la variazione di f al variare di x.
In modo analogo, la derivata parziale rispetto a y si calcola trattando x come costante.
Si indica con ∂f/∂y e misura la variazione di f al variare di y.
Quando entrambe le variabili cambiano contemporaneamente, usiamo il differenziale totale.
Il differenziale totale della funzione si scrive così:
df = (∂f/∂x) · dx + (∂f/∂y) · dy
Questa formula stima la piccola variazione di f dovuta a piccole variazioni di x e y.
È uno strumento utile per valutare gli errori nelle misure di laboratorio.
Esempi / come si fa
Prendiamo la funzione z = f(x, y) = x² + 3xy + y².
Per calcolare ∂f/∂x consideriamo y come un numero fisso.
Otteniamo: ∂f/∂x = 2x + 3y.
Per calcolare ∂f/∂y consideriamo x come un numero fisso.
Otteniamo: ∂f/∂y = 3x + 2y.
Il differenziale totale diventa quindi: df = (2x + 3y) dx + (3x + 2y) dy.
Un esempio concreto: l'area di un rettangolo è A = b · h.
Le derivate parziali sono ∂A/∂b = h e ∂A/∂h = b.
Se misuriamo base e altezza con piccoli errori db e dh, l'errore sull'area è:
dA = h · db + b · dh.
Questo aiuta i tecnici di laboratorio a stimare la propagazione degli errori nelle misure.
Parole difficili
- Funzione di più variabili: legge che associa un numero a più valori in ingresso.
- Derivata parziale: variazione di una funzione rispetto a una sola variabile.
- Differenziale: variazione molto piccola di una grandezza matematica.
- Variabile indipendente: grandezza che possiamo scegliere liberamente nei calcoli.
- Costante: numero fisso che non cambia durante il calcolo.
- Propagazione degli errori: come gli errori di misura si trasmettono al risultato finale.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-chimica-materiali-biotecnologie.complementi-di-matematica.cl3.calcolo-differenziale.01