In breve: Le coordinate polari indicano un punto usando una distanza e uno o due angoli, invece di valori su assi.
Cosa sono le coordinate polari
Di solito troviamo un punto sul piano con due numeri: x e y. Questo sistema si chiama cartesiano.
Esiste però un altro modo. Si parte da un punto fisso, detto origine o polo. Da lì si misura quanto è lontano il punto. Poi si misura l'angolo rispetto a una direzione fissa.
Questo metodo si chiama sistema di coordinate polari. È utile quando un fenomeno ruota attorno a un centro.
Le coordinate polari nel piano
Nel piano servono due valori: il raggio e l'angolo.
Il raggio si indica con la lettera ρ (rho). Misura la distanza dal punto all'origine. È sempre un numero positivo o zero.
L'angolo si indica con θ (theta). Si misura partendo dall'asse orizzontale, di solito in senso antiorario.
Esempio quotidiano: un radar mostra un aereo. Dice "a 5 km, direzione 30 gradi". Quei due dati sono coordinate polari.
Si passa dalle coordinate cartesiane (x, y) a quelle polari con due relazioni:
- x = ρ · cos(θ)
- y = ρ · sin(θ)
Le coordinate polari nello spazio
Nello spazio un punto ha tre dimensioni. Servono quindi tre numeri. Esistono due sistemi molto usati.
Il sistema cilindrico usa il raggio ρ, l'angolo θ e l'altezza z. È come prendere le coordinate polari del piano e aggiungere l'altezza. Si usa per oggetti a forma di tubo o cilindro.
Il sistema sferico usa un raggio r e due angoli. Un angolo descrive la rotazione orizzontale. L'altro angolo descrive l'inclinazione verticale. Si usa per oggetti a forma di palla.
Esempio: la posizione di una stella nel cielo. Diciamo quanto è lontana, in che direzione guardare e quanto alzare lo sguardo.
Esempi pratici
Esempio 1 — dal piano cartesiano al piano polare. Prendiamo il punto (1, 1). La distanza dall'origine è √2. L'angolo con l'asse x è 45°. Quindi in polari il punto è (√2, 45°).
Esempio 2 — dal piano polare al piano cartesiano. Prendiamo il punto polare (2, 60°). Calcoliamo:
- x = 2 · cos(60°) = 1
- y = 2 · sin(60°) ≈ 1,73
Esempio 3 — coordinate cilindriche. Un punto su un palo verticale alto 3 metri, a 2 metri di distanza dal palo, in direzione est. Le coordinate cilindriche sono (2, 0°, 3).
Parole difficili
- Polo: punto fisso da cui si misura la distanza nelle coordinate polari.
- Raggio (ρ): distanza tra il punto considerato e il polo.
- Angolo (θ): rotazione misurata da una direzione di riferimento fissa.
- Sistema cartesiano: sistema che individua un punto usando gli assi x, y, z.
- Coordinate cilindriche: estensione delle polari nello spazio con un'altezza.
- Coordinate sferiche: sistema spaziale con un raggio e due angoli.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-chimica-materiali-biotecnologie.complementi-di-matematica.cl3.coordinate-polari.01