In breve: I numeri complessi estendono i numeri reali. Servono per risolvere equazioni che con i soli reali non hanno soluzione.
Perché servono i numeri complessi
Hai già studiato i numeri reali. Con essi puoi risolvere molte equazioni.
Prova però a risolvere l'equazione x² = -1. Nessun numero reale, elevato al quadrato, dà un risultato negativo.
Per superare questo limite, i matematici hanno introdotto un nuovo numero. Lo chiamano unità immaginaria e si indica con la lettera i.
Per definizione vale i² = -1. Da qui nasce un mondo nuovo di numeri.
Come è fatto un numero complesso
Un numero complesso si scrive nella forma a + bi. La lettera a è la parte reale e b è la parte immaginaria.
Ad esempio, 3 + 2i è un numero complesso. La sua parte reale è 3, quella immaginaria è 2.
Se b vale zero, il numero è reale puro. Se a vale zero, il numero è immaginario puro.
L'insieme di tutti i numeri complessi si indica con la lettera C. I numeri reali sono un suo sottoinsieme.
Possiamo rappresentare un numero complesso come un punto nel piano. L'asse orizzontale mostra la parte reale, quello verticale la parte immaginaria.
Questa rappresentazione si chiama piano di Gauss. È molto utile per visualizzare le operazioni.
Esempi e operazioni di base
Sommare due numeri complessi è semplice. Si sommano separatamente le parti reali e quelle immaginarie.
Esempio: (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.
Anche la sottrazione segue la stessa regola. Esempio: (5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i.
Per la moltiplicazione si usa la proprietà distributiva. Ricorda sempre che i² = -1.
Esempio: (2 + i) · (1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i.
Un esempio concreto si trova in elettronica. Nei circuiti in corrente alternata, tensioni e correnti si descrivono con numeri complessi.
Parole difficili
- Unità immaginaria: numero indicato con i, definito dalla relazione i² = -1.
- Parte reale: il coefficiente a nel numero complesso a + bi.
- Parte immaginaria: il coefficiente b che moltiplica l'unità immaginaria.
- Piano di Gauss: piano cartesiano usato per rappresentare graficamente i numeri complessi.
- Insieme C: simbolo che indica l'insieme di tutti i numeri complessi.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-informatica-telecomunicazioni.complementi-matematica.cl3.numeri-complessi.01