In breve: Le derivate parziali misurano come cambia una funzione di più variabili rispetto a una sola variabile per volta. Il differenziale totale stima la variazione complessiva.
Introduzione semplice
In matematica spesso una grandezza dipende da più variabili. Pensiamo al volume di una scatola: dipende da base e altezza.
Se cambia solo una variabile, possiamo studiare come reagisce il risultato. Questo studio si chiama derivata parziale.
Quando invece cambiano tutte le variabili insieme, usiamo il differenziale totale. Esso somma i contributi di ogni variazione.
Spiegazione principale
Una funzione di due variabili si scrive z = f(x, y). Il valore z dipende sia da x sia da y.
La derivata parziale rispetto a x si indica con ∂f/∂x. Si calcola trattando y come una costante.
Allo stesso modo, ∂f/∂y si calcola trattando x come una costante. Le regole di derivazione sono quelle già note.
Il differenziale totale di f si scrive così:
df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy
Qui dx e dy sono piccole variazioni delle due variabili. Il risultato df stima la variazione di f.
Questa formula è utile quando vogliamo prevedere errori o piccoli cambiamenti in una grandezza misurata.
Esempi / come si fa
Esempio 1. Consideriamo f(x, y) = x²y + 3y.
Per ∂f/∂x trattiamo y come costante: ∂f/∂x = 2xy.
Per ∂f/∂y trattiamo x come costante: ∂f/∂y = x² + 3.
Esempio 2. Area di un rettangolo: A(b, h) = b · h.
Le derivate parziali sono ∂A/∂b = h e ∂A/∂h = b.
Il differenziale totale diventa: dA = h db + b dh.
Se la base aumenta di poco e l'altezza pure, dA approssima la nuova area. È una stima molto usata in fisica e in informatica per la propagazione degli errori.
Esempio 3. In un circuito, la potenza dipende da tensione e corrente. Le derivate parziali aiutano a capire quale variabile influisce di più.
Parole difficili
- Funzione di più variabili: regola che lega un risultato a due o più valori in ingresso.
- Derivata parziale: derivata rispetto a una variabile, tenendo fisse le altre.
- Differenziale totale: somma stimata delle piccole variazioni di una funzione.
- Costante: valore che non cambia durante un calcolo.
- Variazione: differenza tra un valore iniziale e uno finale.
- Propagazione degli errori: stima di come gli errori di misura influenzano il risultato.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-informatica-telecomunicazioni.complementi-matematica.cl3.derivate-parziali.01