In breve: Un luogo geometrico è un insieme di punti che rispettano una regola. Possiamo descriverlo con equazioni diverse.
Cosa è un luogo geometrico
In geometria un luogo geometrico è un insieme di punti. Tutti questi punti hanno una proprietà in comune.
Pensa al cantiere edile. Se segni tutti i punti che distano 5 metri da un palo, ottieni un cerchio. Quel cerchio è un luogo geometrico.
La regola che unisce i punti si traduce in una equazione. L'equazione cambia forma secondo il sistema di riferimento scelto.
Le tre forme delle equazioni
Possiamo scrivere lo stesso luogo in tre modi diversi. Ogni modo serve in situazioni differenti, utili nei rilievi del territorio.
Coordinate cartesiane. Ogni punto ha due numeri: x e y. La circonferenza con centro nell'origine e raggio r si scrive x² + y² = r². Questa forma è comoda per i disegni tecnici.
Coordinate polari. Ogni punto ha una distanza ρ dall'origine e un angolo θ. La stessa circonferenza diventa ρ = r. Questa forma è utile nei rilievi topografici con la stazione totale.
Forma parametrica. Le coordinate x e y dipendono da una variabile chiamata parametro, spesso t. La circonferenza diventa x = r·cos(t), y = r·sin(t). Questa forma descrive bene il movimento di un punto.
Esempi pratici
Esempio 1: l'asse di un segmento. È il luogo dei punti equidistanti dai due estremi. In coordinate cartesiane diventa una retta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio.
Esempio 2: la circonferenza di raggio 3.
- Cartesiana: x² + y² = 9
- Polare: ρ = 3
- Parametrica: x = 3·cos(t), y = 3·sin(t), con t fra 0 e 2π
Esempio 3: applicazione al territorio. Per tracciare una rotonda stradale, il topografo usa la forma polare. Fissa il centro e ruota lo strumento mantenendo costante la distanza.
Parole difficili
- Luogo geometrico: insieme di punti che rispettano una proprietà comune.
- Coordinate cartesiane: coppia di numeri (x, y) che indica la posizione su due assi.
- Coordinate polari: distanza dall'origine e angolo che identificano un punto.
- Parametro: variabile ausiliaria da cui dipendono le coordinate del punto.
- Equidistante: che si trova alla stessa distanza da due o più punti.
- Topografia: tecnica che misura e rappresenta porzioni di territorio.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-costruzioni-ambiente-territorio.complementi-di-matematica.cl3.luoghi-geometrici.01