Esprimere fenomeni con la forma differenziale — scheda

In breve: La forma differenziale descrive piccole variazioni di una grandezza. Serve a modellare fenomeni reali con il linguaggio del calcolo.

Cosa significa "differenziale"

In matematica studiamo come cambia una grandezza. Una variazione molto piccola si chiama differenziale.

Pensiamo a una strada in salita. Se ci spostiamo di un piccolo tratto, saliamo di una piccola altezza. Il differenziale descrive proprio questo legame tra piccole variazioni.

Per una funzione y = f(x), scriviamo: dy = f'(x) dx. Qui dx è una piccola variazione di x. La quantità dy è la corrispondente piccola variazione di y.

Come si esprime un fenomeno in forma differenziale

Molti fenomeni delle costruzioni e del territorio cambiano in modo continuo. Possiamo descriverli con relazioni tra piccole variazioni.

Il procedimento ha tre passi semplici:

1. Individuare le grandezze coinvolte (lunghezza, volume, tempo).
2. Scrivere il legame fra una piccola causa e un piccolo effetto.
3. Tradurre questo legame in una scrittura con d davanti alle variabili.

Esempio: se la temperatura sale di poco, una barra di acciaio si allunga di poco. Scriviamo dL = α · L · dT. Qui α è il coefficiente di dilatazione del materiale.

Questa è una forma differenziale elementare. Lega la piccola variazione di lunghezza alla piccola variazione di temperatura.

Esempi pratici dal cantiere e dal territorio

Esempio 1 — Riempimento di un serbatoio. L'acqua entra con portata Q. In un tempo piccolo dt entra un volume piccolo dV. Scriviamo dV = Q · dt. È la forma differenziale del riempimento.

Esempio 2 — Pendenza di un terreno. Su una livelletta, ogni piccolo spostamento orizzontale dx produce un piccolo dislivello dh. Se la pendenza è i, vale dh = i · dx.

Esempio 3 — Movimento terra. Se una sezione di scavo ha area A(x), un piccolo tratto dx corrisponde a un piccolo volume dV = A(x) · dx.

In tutti i casi leghiamo due piccole variazioni con una relazione lineare. Questa è l'idea centrale della forma differenziale.

Parole difficili

• Differenziale: variazione molto piccola di una grandezza, indicata con d.
• Grandezza: quantità che si può misurare, come lunghezza o tempo.
• Portata: volume di fluido che passa in un tempo dato.
• Livelletta: tratto di strada con pendenza costante.
• Coefficiente: numero fisso che lega due grandezze in una formula.
• Relazione lineare: legame in cui una variazione è proporzionale all'altra.

Riferimenti

• Norma: Riordino degli istituti tecnici
• Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-costruzioni-ambiente-territorio.complementi-di-matematica.cl3.forma-differenziale.01