In breve: Il limite descrive a quale valore si avvicina una funzione quando la variabile tende a un certo punto.
Una domanda di partenza
In matematica spesso vogliamo sapere come si comporta una funzione vicino a un valore. Non sempre possiamo calcolare direttamente quel valore. A volte la funzione non è definita proprio in quel punto.
Il concetto di limite ci aiuta a rispondere. Ci dice verso quale numero si avvicina la funzione, anche senza raggiungerlo.
Cosa significa "tendere a un valore"
Immagina di camminare verso una porta. Ogni passo dimezza la distanza che ti separa da essa. Non la tocchi mai, ma ti avvicini sempre di più.
In modo simile, una funzione può avvicinarsi a un numero senza assumerlo davvero. Quel numero si chiama limite della funzione.
Scriviamo il limite così:
lim f(x) = L quando x tende a c
Significa che, prendendo x sempre più vicino a c, i valori di f(x) si avvicinano a L.
Collegamento con la fisica e la vita reale
Pensiamo alla velocità istantanea di un'auto. Non possiamo misurarla in un istante zero. Calcoliamo la velocità media in intervalli sempre più piccoli. Il valore a cui ci avviciniamo è la velocità istantanea.
Anche le successioni usano il limite. Una successione è una lista ordinata di numeri. Se i suoi termini si avvicinano a un valore fisso, quel valore è il limite della successione.
Esempi pratici
Esempio 1. Consideriamo la funzione f(x) = 2x + 1. Vogliamo studiare il limite per x che tende a 3. Sostituendo valori vicini a 3, otteniamo risultati vicini a 7. Quindi il limite vale 7.
Esempio 2. Consideriamo f(x) = (x² − 1) / (x − 1). Per x = 1 la funzione non è definita. Però, semplificando, otteniamo x + 1. Per x che tende a 1, il limite vale 2.
Esempio 3 (successione). Prendiamo la successione 1, 1/2, 1/3, 1/4, … I termini diventano sempre più piccoli. Si avvicinano a zero senza raggiungerlo. Il limite della successione è 0.
Parole difficili
- Limite: valore a cui una funzione si avvicina quando la variabile tende a un punto.
- Funzione: regola che associa a ogni numero di partenza un solo numero di arrivo.
- Variabile: simbolo, di solito x, che rappresenta un numero che può cambiare.
- Successione: lista ordinata e infinita di numeri costruita con una regola.
- Tendere: avvicinarsi sempre di più a un valore senza necessariamente toccarlo.
- Istantaneo: riferito a un singolo istante di tempo, non a un intervallo.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-scienze-umane.matematica.cl5.relazioni-funzioni.01