In breve: Il limite descrive a quale valore si avvicina una successione o una funzione. È uno strumento base dell'analisi matematica.
Cos'è un limite
In matematica spesso osserviamo come cambia un valore. A volte ci interessa sapere dove "tende ad arrivare".
Il limite risponde a questa domanda. Indica il valore verso cui ci si avvicina, anche senza raggiungerlo mai.
Pensiamo a una persona che cammina verso una parete. A ogni passo dimezza la distanza. Non tocca mai il muro, ma vi si avvicina sempre di più.
Limite di una successione
Una successione è una lista ordinata di numeri. Ogni numero si chiama termine.
Esempio: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
I termini diventano sempre più piccoli. Si avvicinano a zero senza mai raggiungerlo.
Diciamo che il limite di questa successione è zero. Si scrive con il simbolo "lim".
Altro esempio dalla fisica: un oggetto caldo che si raffredda. La sua temperatura tende a quella dell'ambiente. Il limite è la temperatura ambiente.
Limite di una funzione
Una funzione collega ogni numero di partenza a un numero di arrivo. Possiamo chiederci cosa succede vicino a un punto.
Prendiamo la funzione f(x) = 2x + 1. Cosa accade se x si avvicina a 3?
I valori di f(x) si avvicinano a 7. Diciamo che il limite per x che tende a 3 è 7.
A volte la funzione non esiste in quel punto, ma il limite sì. Questo è utile per studiare comportamenti particolari.
Esempi pratici
Esempio 1 — Successione 1/n: scrivi i primi cinque termini. Osserva come si avvicinano a zero.
Esempio 2 — Velocità media: calcola lo spazio percorso diviso il tempo. Riduci sempre più l'intervallo di tempo. Ti avvicini alla velocità istantanea.
Esempio 3 — Funzione f(x) = x². Per x che tende a 2, i valori tendono a 4. Verifica con x = 1,9 e x = 2,1.
Esempio 4 — Interesse composto: aumentando i periodi di calcolo, il guadagno si avvicina a un valore limite.
Parole difficili
- Successione: lista ordinata e infinita di numeri detti termini.
- Limite: valore a cui ci si avvicina sempre di più.
- Funzione: regola che a ogni numero ne associa un altro.
- Tendere: avvicinarsi a un valore senza per forza raggiungerlo.
- Istantaneo: riferito a un singolo istante, non a un intervallo.
- Analisi: parte della matematica che studia funzioni e limiti.
Riferimenti
- Norma: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i licei
- Obiettivo formativo coperto: ob.liceo-linguistico.matematica.cl5.relazioni-funzioni.01