In breve: I numeri complessi estendono i numeri reali. Servono per risolvere equazioni senza soluzioni reali.
Cosa sono i numeri complessi
A volte una equazione non ha soluzione tra i numeri reali. Per esempio, nessun numero reale al quadrato dà −1.
Per superare questo limite si introduce una nuova unità immaginaria, indicata con la lettera i. Questa unità soddisfa la regola: i² = −1.
Un numero complesso si scrive nella forma a + bi. Qui a è la parte reale e b è la parte immaginaria.
Come si opera con i numeri complessi
Sui numeri complessi si possono eseguire le quattro operazioni fondamentali. Le regole sono simili a quelle dei polinomi, con la sostituzione i² = −1.
Nella somma si sommano le parti reali tra loro. Poi si sommano separatamente le parti immaginarie.
Nel prodotto si applica la proprietà distributiva. Ogni volta che compare i² lo si sostituisce con −1.
Per dividere due numeri complessi si usa il coniugato del denominatore. Il coniugato di a + bi è a − bi.
I numeri complessi si possono anche rappresentare come punti sul piano. Sull'asse orizzontale si legge la parte reale, su quello verticale la parte immaginaria.
Esempi pratici
Somma: (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i. Si sommano 3 con 1 e 2 con 4.
Sottrazione: (5 + 3i) − (2 + i) = 3 + 2i. Si tolgono parte reale e parte immaginaria.
Prodotto: (1 + i) · (2 + 3i). Si sviluppa: 2 + 3i + 2i + 3i². Poiché i² = −1, diventa 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
Coniugato: il coniugato di 4 + 7i è 4 − 7i. Serve per semplificare le divisioni.
Un esempio della vita quotidiana: nei circuiti elettrici in corrente alternata si usano numeri complessi per descrivere tensioni e correnti.
Parole difficili
- Unità immaginaria: simbolo i tale che i² vale −1.
- Parte reale: il numero a nella scrittura a + bi.
- Parte immaginaria: il coefficiente b davanti a i.
- Coniugato: numero ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria.
- Piano complesso: piano cartesiano usato per rappresentare i numeri complessi.
- Proprietà distributiva: regola che permette di moltiplicare termine per termine.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-chimica-materiali-biotecnologie.complementi-di-matematica.cl3.numeri-complessi.02