In breve: I numeri complessi estendono i numeri reali. Permettono di risolvere equazioni che con i soli numeri reali non hanno soluzione.
Perché servono i numeri complessi
Pensa all'equazione x² = -1. Tra i numeri reali non esiste soluzione.
Nessun numero reale, elevato al quadrato, dà un risultato negativo. Per superare questo limite si introduce una nuova unità immaginaria.
Si indica con la lettera i. Per definizione vale la regola: i² = -1.
Da questa idea nasce un insieme più ampio. Si chiama insieme dei numeri complessi e si indica con la lettera C.
Come è fatto un numero complesso
Un numero complesso si scrive nella forma a + bi. La lettera a è la parte reale. La lettera b è la parte immaginaria.
Sia a sia b sono numeri reali. La i è l'unità immaginaria vista prima.
Se b vale zero, il numero è reale puro. Se a vale zero, il numero è immaginario puro.
Possiamo immaginare ogni numero complesso come un punto su un piano. L'asse orizzontale indica la parte reale. L'asse verticale indica la parte immaginaria.
Questa rappresentazione si chiama piano di Argand-Gauss. Aiuta a visualizzare somme e prodotti in modo geometrico.
Esempi e operazioni di base
Esempio di numero complesso: z = 3 + 2i. La parte reale è 3, quella immaginaria è 2.
Somma: si sommano separatamente le parti reali e quelle immaginarie. (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.
Prodotto: si applica la proprietà distributiva e si usa i² = -1. (2 + i)(1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i − 3 = −1 + 7i.
Un'applicazione concreta si trova in elettrotecnica. Le correnti alternate si descrivono bene con numeri complessi.
Anche nella chimica fisica i numeri complessi compaiono. Servono ad esempio nella meccanica quantistica per descrivere stati atomici.
Parole difficili
- Unità immaginaria: numero indicato con i, il cui quadrato vale -1.
- Parte reale: il coefficiente a nella scrittura a + bi.
- Parte immaginaria: il coefficiente b nella scrittura a + bi.
- Insieme C: insieme che contiene tutti i numeri complessi.
- Piano di Argand-Gauss: piano cartesiano usato per rappresentare i numeri complessi.
- Coniugato: dato a + bi, il suo coniugato è a − bi.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-chimica-materiali-biotecnologie.complementi-di-matematica.cl3.numeri-complessi.01