In breve: Studiamo come scrivere le equazioni di tre superfici notevoli nello spazio: sfera, cilindro e cono.
Una nuova geometria nello spazio
In seconda hai studiato le figure nel piano. Bastavano due coordinate: x e y.
Nello spazio servono tre coordinate: x, y e z. Ogni punto ha tre numeri che lo individuano.
Le superfici sono oggetti che vivono in questo spazio. Possiamo descriverle con un'equazione.
Un'equazione lega le tre coordinate dei punti. Solo i punti che la rispettano stanno sulla superficie.
Le tre superfici notevoli
La sfera
Pensa a un pallone perfettamente rotondo. Tutti i punti della superficie distano uguale dal centro.
Questa distanza si chiama raggio. La indichiamo con la lettera r.
Se il centro è nell'origine degli assi, l'equazione della sfera è:
x² + y² + z² = r²
Se il centro è in un punto C di coordinate (a, b, c), l'equazione diventa:
(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²
Il cilindro
Immagina un tubo dritto e infinito. La sua sezione è un cerchio sempre uguale.
Se l'asse del cilindro coincide con l'asse z, l'equazione è:
x² + y² = r²
Non compare la z. Questo significa che il valore di z è libero. La superficie si estende verso l'alto e verso il basso.
Il cono
Pensa a un cappello da festa appoggiato per la punta. Il cono ha un vertice e si allarga in modo regolare.
Se il vertice è nell'origine e l'asse coincide con z, una forma semplice è:
x² + y² = k² · z²
Il numero k controlla quanto il cono si apre. Un k piccolo dà un cono stretto.
Esempi pratici
Esempio 1 — Sfera. Un pallone ha centro nell'origine e raggio 5. Equazione: x² + y² + z² = 25.
Esempio 2 — Cilindro. Un tubo verticale ha raggio 3 e asse z. Equazione: x² + y² = 9.
Esempio 3 — Cono. Un cono con vertice nell'origine e k = 1. Equazione: x² + y² = z².
Per verificare se un punto sta sulla superficie, sostituisci le sue coordinate. Se l'uguaglianza è vera, il punto appartiene alla superficie.
Nel sistema moda queste forme aiutano a modellare cappelli, manichini e accessori arrotondati.
Parole difficili
- Coordinate: tre numeri che individuano un punto nello spazio.
- Origine: il punto dove si incontrano i tre assi x, y, z.
- Asse: retta di riferimento attorno a cui la superficie è simmetrica.
- Raggio: distanza fissa tra il centro e i punti della sfera.
- Vertice: punto unico in cui il cono inizia o termina.
- Sezione: figura ottenuta tagliando la superficie con un piano.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-sistema-moda.complementi-di-matematica.cl3.superfici-notevoli.01