In breve: Il logaritmo naturale usa come base il numero e ≈ 2,718. Si scrive ln(x) e serve per descrivere crescite e decadimenti continui.
Introduzione semplice
In matematica esiste un numero molto speciale chiamato e. Il suo valore approssimato è 2,718.
Questo numero appare spesso in natura. Lo troviamo nella crescita delle popolazioni e nel decadimento di sostanze.
Il logaritmo con base e si chiama logaritmo naturale. Si indica con il simbolo ln(x).
Scrivere ln(x) equivale a scrivere log con base e del numero x.
Spiegazione principale
Un logaritmo risponde a una domanda precisa. A quale esponente devo elevare la base per ottenere un certo numero?
Per il logaritmo naturale la base è sempre e. Quindi ln(x) chiede: a quale potenza elevo e per ottenere x?
Vediamo alcune proprietà importanti del logaritmo naturale.
Il logaritmo di 1 è sempre zero. Quindi ln(1) = 0, perché ogni numero elevato a zero dà 1.
Il logaritmo della base è sempre uno. Quindi ln(e) = 1, perché e elevato a 1 dà e.
Il logaritmo naturale segue le stesse regole degli altri logaritmi. La somma di logaritmi diventa logaritmo del prodotto.
In formula: ln(a) + ln(b) = ln(a · b). Vale anche la regola del quoziente e della potenza.
Il logaritmo naturale è la funzione inversa della funzione esponenziale con base e.
Questo significa che ln(eˣ) = x. E vale anche e^(ln x) = x, per ogni x positivo.
Esempi / come si fa
Esempio 1. Calcolare ln(1). Risposta immediata: ln(1) = 0. Infatti e elevato a 0 dà 1.
Esempio 2. Calcolare ln(e³). Usiamo la proprietà della potenza. ln(e³) = 3 · ln(e) = 3 · 1 = 3.
Esempio 3. Risolvere l'equazione eˣ = 5. Applichiamo ln a entrambi i membri. Otteniamo x = ln(5). Con la calcolatrice troviamo x ≈ 1,609.
Esempio 4 (chimica). Una reazione segue la legge N(t) = N₀ · e^(−kt). Per ricavare il tempo t isoliamo l'esponenziale e applichiamo ln. Otteniamo: t = − ln(N/N₀) / k.
Esempio 5. Semplificare ln(2) + ln(3). Per la regola del prodotto: ln(2) + ln(3) = ln(6).
Parole difficili
- e (numero di Nepero): costante matematica irrazionale, vale circa 2,718.
- Logaritmo: esponente da dare alla base per ottenere un numero.
- Base: numero che viene elevato a potenza nel logaritmo.
- Esponente: numero che indica quante volte moltiplicare la base.
- Funzione inversa: funzione che annulla l'effetto di un'altra funzione.
- Esponenziale: funzione del tipo y = aˣ, con a base positiva.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-chimica-materiali-biotecnologie.complementi-di-matematica.cl3.potenze-logaritmi.02