In breve: L'integrale è l'operazione inversa della derivata. Serve a calcolare aree, volumi e a descrivere fenomeni reali.
A cosa serve
L'integrale risponde a una domanda semplice. Quanto vale l'area sotto una curva?
Pensa al contachilometri di un'auto. Se conosci la velocità in ogni istante, l'integrale ti dà la distanza percorsa.
Allo stesso modo, calcola volumi di solidi e probabilità in statistica.
Integrale indefinito
Data una funzione f(x), cerchiamo una funzione F(x) che ha f(x) come derivata.
Questa F(x) si chiama primitiva di f(x).
Si scrive così: ∫ f(x) dx = F(x) + C.
La lettera C è una costante arbitraria. Indica che le primitive sono infinite.
Esempio semplice: la primitiva di x è x²/2 + C.
Altro esempio: la primitiva di 2x è x² + C.
Verifica: deriva x² e ottieni 2x. Funziona.
Integrale definito
L'integrale definito calcola l'area sotto il grafico di una funzione.
L'area è compresa tra x = a e x = b. Si scrive ∫ₐᵇ f(x) dx.
I numeri a e b si chiamano estremi di integrazione.
Esempio quotidiano: vuoi sapere quanta acqua è entrata in una vasca in 10 minuti. Se conosci la portata, l'integrale ti dà il volume totale.
Teorema fondamentale del calcolo
Questo teorema unisce derivate e integrali.
Se F è una primitiva di f, allora vale questa regola:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Si calcola F nel punto b. Poi si sottrae F nel punto a.
Esempio: ∫₀¹ x dx = 1²/2 − 0²/2 = 1/2.
Newton e Leibniz scoprirono questo legame nel Seicento. È la base del calcolo infinitesimale.
Applicazioni concrete
- Aree di figure piane delimitate da curve.
- Volumi dei solidi di rotazione, come una bottiglia al tornio.
- Lavoro di una forza in fisica.
- Probabilità di un evento continuo, come l'altezza delle persone.
- Equazioni differenziali per la crescita di una popolazione o il decadimento radioattivo.
Riferimento al programma
Questa scheda segue le Indicazioni Nazionali per il liceo scientifico.
Il calcolo integrale è previsto nel quinto anno. Rientra nel nucleo tematico "Relazioni e funzioni".
Gli obiettivi sono: capire il concetto di primitiva, calcolare aree con l'integrale definito, applicare il teorema fondamentale.
Parole difficili
- Primitiva: funzione la cui derivata è la funzione di partenza.
- Differenziale: il simbolo dx, indica una variazione molto piccola di x.
- Integrando: la funzione f(x) che sta dentro il simbolo di integrale.
- Estremi di integrazione: i due numeri a e b dell'integrale definito.
- Costante di integrazione: la lettera C che si aggiunge alla primitiva.
- Solido di rotazione: figura ottenuta ruotando una curva attorno a un asse.