In breve: La derivata misura quanto velocemente una funzione cambia in un punto. Si calcola come pendenza della retta tangente al grafico.
Idea di partenza
Immagina di guidare un'auto in autostrada. Il tachimetro mostra la velocità in ogni istante.
Quella velocità è proprio una derivata. Indica quanto cambia la posizione in un tempo piccolissimo.
La derivata serve a misurare il cambiamento di una grandezza. Ci dice se cresce, decresce, e con quale rapidità.
Definizione
Prendiamo una funzione f(x) e un punto x₀ sul suo grafico.
Vogliamo capire come varia f vicino a quel punto. Per farlo usiamo il rapporto incrementale.
Il rapporto incrementale confronta due valori. Mette al numeratore la variazione di f, al denominatore la variazione di x.
In formula si scrive così:
[ f(x₀ + h) − f(x₀) ] / h
Qui h è uno spostamento piccolo a destra di x₀. Quando h diventa quasi zero, otteniamo la derivata.
La scriviamo f'(x₀) e la chiamiamo limite del rapporto incrementale.
Significato geometrico
Sul grafico, la derivata è la pendenza della retta tangente. La tangente è la retta che "sfiora" la curva nel punto.
Se la derivata è positiva, la funzione sale. Se è negativa, la funzione scende. Se è zero, c'è un punto stazionario.
Esempio numerico svolto
Calcoliamo la derivata di f(x) = x² nel punto x₀ = 3.
Usiamo la regola della potenza: la derivata di xⁿ è n · xⁿ⁻¹.
Quindi f'(x) = 2x. Sostituendo x = 3 otteniamo f'(3) = 6.
Questo significa che nel punto x = 3 la curva sale con pendenza 6.
Significato fisico
In fisica la derivata si chiama tasso di variazione.
- La derivata della posizione rispetto al tempo è la velocità.
- La derivata della velocità rispetto al tempo è l'accelerazione.
- La derivata di un'area rispetto a un lato dice come l'area cresce.
Esempio: un'auto percorre s(t) = 5t² metri in t secondi. La sua velocità è s'(t) = 10t.
Dopo 2 secondi la velocità è 10 · 2 = 20 metri al secondo.
Derivate fondamentali
Queste sono le derivate da imparare a memoria:
- La derivata di una costante è 0.
- La derivata di xⁿ è n · xⁿ⁻¹.
- La derivata di sin x è cos x.
- La derivata di cos x è −sin x.
- La derivata di eˣ è ancora eˣ.
- La derivata di ln x è 1/x.
Regole di derivazione
Servono quando le funzioni sono combinate tra loro.
- Somma: la derivata di f + g è f' + g'.
- Prodotto: la derivata di f · g è f' · g + f · g'.
- Quoziente: la derivata di f / g è (f' · g − f · g') / g².
- Composta: la derivata di f(g(x)) è f'(g(x)) · g'(x).
Esempio sulla somma: se f(x) = x² + sin x, allora f'(x) = 2x + cos x.
Applicazioni
Le derivate hanno molti usi pratici:
- Studiare quando una funzione cresce o decresce.
- Trovare i massimi e i minimi di una funzione.
- Risolvere problemi di ottimizzazione (es. minimizzare i costi).
- Modellare fenomeni in fisica, biologia ed economia.
Esempio di vita quotidiana: un'azienda vuole sapere quale prezzo rende il guadagno massimo. Si scrive la funzione del guadagno e si pone la derivata uguale a zero.
Parole difficili
- Limite: valore a cui si avvicina un'espressione quando una variabile tende a un numero.
- Rapporto incrementale: quoziente tra la variazione di f e la variazione di x.
- Tangente: retta che tocca la curva in un punto seguendone la direzione.
- Pendenza: inclinazione di una retta rispetto all'asse orizzontale.
- Tasso di variazione: velocità con cui una grandezza cambia rispetto a un'altra.
- Ottimizzazione: ricerca del valore massimo o minimo di una funzione.
Riferimenti
- Indicazioni nazionali per i Licei (Liceo Scientifico), area Matematica, quinto anno: analisi infinitesimale e calcolo differenziale.
- Testo di riferimento consigliato dal docente di classe per il programma di analisi.