Che cos'è una funzione
Una funzione è una legge che a ogni valore di una grandezza ne associa uno solo di un'altra grandezza.
Nella vita di tutti i giorni capita spesso che una quantità dipenda da un'altra: il prezzo da pagare dipende dai chili di frutta, la distanza percorsa dipende dal tempo di viaggio. Quando una grandezza dipende da un'altra in modo preciso e univoco, i matematici dicono che esiste una dipendenza funzionale tra le due. La grandezza libera, quella che scegliamo noi, si chiama variabile indipendente e si indica di solito con x; quella che si ottiene di conseguenza si chiama variabile dipendente e si indica con y. Scriviamo y = f(x) e leggiamo «y è funzione di x», intendendo che il valore di y viene calcolato a partire da x seguendo una regola fissata. La condizione essenziale è una sola: a ciascun valore di x deve corrispondere uno e un solo valore di y, altrimenti la relazione non è una funzione. L'insieme dei valori che possiamo dare alla x si chiama dominio, mentre l'insieme dei valori che la y assume si chiama codominio.
Funzioni di proporzionalità diretta e loro grafico
Tra tutte le funzioni studiate in terza media, la più importante è la funzione di proporzionalità diretta, scritta nella forma y = kx, dove k è un numero fisso detto coefficiente di proporzionalità. Questa funzione descrive tutte le situazioni in cui raddoppiando, triplicando o dimezzando la x, anche la y raddoppia, triplica o si dimezza nello stesso modo. Per costruirne il grafico si compila una tabella di valori, si riportano le coppie (x; y) sul piano cartesiano e si uniscono i punti: si ottiene sempre una retta che passa per l'origine degli assi. Per esempio, se un chilo di mele costa 2 euro, allora il costo y dipende dai chili x secondo la legge y = 2x: per x = 1 si ha y = 2, per x = 3 si ha y = 6, per x = 5 si ha y = 10, e disegnando i tre punti A(1; 2), B(3; 6), C(5; 10) si vede che sono allineati su una retta uscente dall'origine. Esistono anche altri tipi di funzioni utili: la proporzionalità inversa y = k/x, il cui grafico è un'iperbole, e la funzione quadratica y = ax², il cui grafico è una parabola con vertice nell'origine. In tutti i casi il grafico è uno strumento potentissimo perché permette di leggere a colpo d'occhio come cambia y al variare di x.
Ricorda
- Una funzione associa a ogni x un unico valore di y; si scrive y = f(x) e si rappresenta sul piano cartesiano.
- La funzione y = kx ha per grafico una retta passante per l'origine; la y = k/x dà un'iperbole, la y = ax² una parabola.
- Verifica sul quaderno: data la funzione y = 3x, costruisci la tabella per x = 0, 1, 2, 3, 4, disegna i punti sul piano cartesiano e verifica che siano allineati lungo una retta passante per l'origine.