Le funzioni sono uno strumento matematico che descrive come una grandezza cambia al variare di un'altra: imparare a riconoscerle ci aiuta a leggere il mondo con occhi nuovi, dalle bollette ai grafici della temperatura.
Che cos'è una funzione
Una funzione è una regola che collega ogni valore di una grandezza, chiamata variabile indipendente, a uno e un solo valore di un'altra grandezza, chiamata variabile dipendente. In matematica indichiamo la variabile indipendente con la lettera x e la variabile dipendente con la lettera y, scrivendo y = f(x) per dire che il valore di y si ottiene applicando una certa regola al valore di x. La parola funzione viene dal latino e significa proprio "compito", "lavoro da svolgere": la x entra, la regola lavora, e ne esce un valore preciso di y. Pensa per esempio al prezzo della frutta al mercato: se le mele costano 2 euro al chilo, allora a ogni quantità di mele in chili corrisponde una sola spesa in euro. Un altro esempio quotidiano è la distanza percorsa da una persona che cammina a velocità costante: a ogni numero di minuti corrisponde un solo numero di metri percorsi. La condizione fondamentale è quindi l'unicità: a ogni x deve corrispondere un solo y, mai due valori diversi insieme.
Le variabili: indipendente e dipendente
In ogni funzione distinguiamo sempre due ruoli: la variabile indipendente, che possiamo scegliere liberamente, e quella dipendente, che si ricava di conseguenza dalla regola. La variabile indipendente è come l'ingresso di una macchina automatica, mentre quella dipendente è il prodotto che la macchina restituisce dopo aver eseguito il proprio lavoro. Se per esempio consideriamo il consumo di acqua di una doccia, possiamo decidere noi quanti minuti restare sotto l'acqua, ma i litri consumati dipendono da questa scelta e non possiamo deciderli a parte. Anche nello sport vediamo questa relazione: il numero di calorie bruciate da un ciclista dipende dai chilometri percorsi, perché i chilometri sono la causa e le calorie sono l'effetto. È importante saper riconoscere chi comanda e chi obbedisce nella relazione, perché scambiando i ruoli si rischia di scrivere formule sbagliate. Per allenare l'occhio, chiediti sempre: "cosa posso scegliere io?" e "cosa cambia automaticamente dopo la mia scelta?".
Come si rappresenta una funzione
Una funzione si può rappresentare in quattro modi diversi, tutti utili a seconda della situazione: a parole, con una tabella, con una formula e con un grafico. La rappresentazione verbale descrive a parole il legame, come quando diciamo "il costo del taxi è di 3 euro fissi più 1 euro per ogni chilometro percorso". La tabella elenca su due colonne alcuni valori di x e i corrispondenti valori di y, ed è molto pratica quando i dati provengono da una misurazione concreta. La formula, per esempio y = 3 + 1·x, è la scrittura più compatta ed elegante, perché ci permette di calcolare il valore di y per qualunque x senza scrivere ogni volta tutta la tabella. Il grafico, infine, è un disegno fatto sul piano cartesiano in cui ogni coppia di valori (x, y) diventa un punto, e l'insieme dei punti mostra subito l'andamento della relazione. Pensa al peso di un cucciolo registrato ogni settimana: i dati in tabella, riportati come punti sul piano, mostrano a colpo d'occhio se la crescita è veloce o lenta.
Il piano cartesiano e il grafico
Il piano cartesiano è formato da due rette numeriche perpendicolari, l'asse delle x in orizzontale e l'asse delle y in verticale, che si incontrano nell'origine, indicata con la lettera O. Ogni punto del piano viene individuato da una coppia ordinata di numeri, scritti tra parentesi e separati da virgola, in cui il primo numero è l'ascissa e il secondo è l'ordinata. Per disegnare il grafico di una funzione si scelgono alcuni valori di x, si calcolano i corrispondenti y con la regola, si segnano i punti sul piano e infine si uniscono con una linea, retta o curva. Se per esempio la funzione descrive il livello dell'acqua in una piscina che si riempie a ritmo costante, otterremo punti allineati lungo una retta che sale da sinistra verso destra. Se invece la funzione descrive la temperatura di una giornata, otterremo una linea che sale al mattino, raggiunge un massimo nel pomeriggio e scende verso sera. Il grafico è insomma il ritratto fedele della funzione, perché trasforma i numeri in un'immagine visiva immediata.
Le funzioni di proporzionalità diretta
Una funzione di proporzionalità diretta ha la forma y = k·x, dove k è un numero fisso diverso da zero chiamato coefficiente o costante di proporzionalità. La caratteristica principale è che, raddoppiando la x, anche la y raddoppia, e triplicando la x anche la y triplica, perché il rapporto y/x resta sempre uguale a k. Il suo grafico è una retta che passa sempre per l'origine degli assi, perché quando x vale zero anche y vale zero, dato che zero moltiplicato per qualunque numero dà zero. Un esempio classico è il prezzo della benzina: se un litro costa 1,80 euro, la spesa y in funzione dei litri x è y = 1,80·x e raddoppiando i litri raddoppia la spesa. Un secondo esempio è la lunghezza di un nastro tagliato a pezzi tutti uguali: la lunghezza totale è proporzionale al numero di pezzi. Riconoscere una proporzionalità diretta è utile perché ci dice subito che le due grandezze "camminano insieme" allo stesso ritmo, senza scarti né soste.
Le funzioni di proporzionalità inversa
Una funzione di proporzionalità inversa ha la forma y = k/x, dove k è un numero fisso diverso da zero, e ha la particolarità che il prodotto x·y resta sempre uguale a k. Qui le due grandezze si comportano in modo opposto rispetto alla proporzionalità diretta: se x raddoppia, y si dimezza, e se x si dimezza, y raddoppia, perché tanto più cresce una quanto più cala l'altra. Il grafico non è più una retta, ma una curva chiamata iperbole che non tocca mai gli assi cartesiani, perché x e y non possono mai valere zero in questa relazione. Un esempio quotidiano è il tempo necessario a riempire una vasca con rubinetti uguali: con più rubinetti aperti, ci vuole meno tempo, e il prodotto rubinetti·tempo resta costante. Un altro esempio è la velocità media di un viaggio di lunghezza fissa: se devi percorrere 120 km, raddoppiando la velocità dimezzi il tempo del viaggio. Imparare a distinguere proporzionalità diretta e inversa è una competenza che serve in tantissime situazioni pratiche, dalla cucina al risparmio energetico.
La funzione lineare y = mx + q
La funzione lineare ha la forma y = m·x + q, dove m e q sono due numeri fissi: m si chiama coefficiente angolare e q termine noto o intercetta. Il grafico è sempre una retta, ma rispetto alla proporzionalità diretta non passa per l'origine se q è diverso da zero, perché q indica proprio il punto in cui la retta taglia l'asse delle y. Il coefficiente m indica invece la pendenza: se m è positivo la retta sale da sinistra verso destra, se m è negativo la retta scende, se m vale zero la retta è orizzontale e la funzione è costante. Un esempio classico è la tariffa di un parcheggio: 2 euro fissi all'ingresso più 1,50 euro per ogni ora, cioè y = 1,50·x + 2, dove x sono le ore e y la spesa totale. Un altro esempio è l'altezza di una candela accesa che si consuma di 1 cm all'ora partendo da 15 cm di altezza, descritta da y = 15 − 1·x dove x sono le ore trascorse. Riconoscere una funzione lineare dalla sua formula o dal suo grafico è una delle abilità più richieste in questo argomento.
Leggere e usare i grafici
Saper leggere un grafico significa ricavare informazioni dai punti e dalla forma della linea senza dover rifare i calcoli con la formula. Per trovare il valore di y corrispondente a un certo valore di x si parte dal numero sull'asse orizzontale, si sale finché si incontra la linea e poi si va a sinistra per leggere il valore sull'asse verticale. Allo stesso modo, per trovare quando una certa y si verifica, si parte dall'asse verticale e si procede in orizzontale fino alla linea, poi si scende sull'asse orizzontale. I grafici raccontano storie: una retta che sale indica una crescita, una retta che scende indica una diminuzione, una retta orizzontale indica una situazione stabile in cui nulla cambia. Per esempio, un grafico che mostra la temperatura corporea durante una febbre può salire fino a un massimo, restare costante per qualche ora e poi scendere gradualmente con l'effetto della medicina. Un altro esempio è il grafico della distanza percorsa da un'auto in viaggio: tratti inclinati indicano movimento, tratti orizzontali indicano fermate, e l'inclinazione racconta se si va piano o forte.
Ricorda
- Una funzione è una regola che a ogni x associa un solo valore di y, e si scrive y = f(x).
- La variabile indipendente è x e si sceglie liberamente; la variabile dipendente è y e si ricava dalla regola.
- Le funzioni si rappresentano in quattro modi: a parole, con una tabella, con una formula, con un grafico.
- La proporzionalità diretta y = k·x ha grafico rettilineo passante per l'origine; quella inversa y = k/x ha grafico a iperbole.
- La funzione lineare y = m·x + q ha grafico rettilineo, con pendenza m e intercetta q sull'asse y.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: una piscina contiene già 50 litri d'acqua e un rubinetto la riempie aggiungendo 20 litri ogni minuto. Scrivi la formula della funzione y = f(x) che lega i litri totali y al tempo x in minuti, costruisci una tabella con x uguale a 0, 1, 2, 3, 4, 5 minuti, e disegna il grafico sul piano cartesiano scegliendo una scala adatta. Infine, indica di che tipo di funzione si tratta e spiega cosa rappresentano nella situazione concreta i numeri 50 e 20 che compaiono nella formula.