Una funzione è una regola che collega ogni valore di una grandezza a un solo valore di un'altra grandezza, permettendo di descrivere fenomeni in modo preciso.
Immagina di entrare in un distributore automatico di bevande: a ogni tasto che premi corrisponde una sola lattina che scende. Non può capitare che lo stesso tasto faccia uscire oggetti diversi a seconda della giornata, altrimenti la macchina sarebbe inaffidabile. Questa idea apparentemente banale è il cuore di un concetto matematico potentissimo che useremo per tutta la vita: la funzione. Studiare le funzioni significa imparare a leggere il mondo come una rete di legami prevedibili, dove conoscendo una grandezza possiamo ricavarne un'altra. È uno strumento che usano economisti, ingegneri, medici e perfino chi organizza una festa di compleanno.
Che cos'è davvero una funzione
Una funzione è un legame tra due insiemi numerici, che chiameremo dominio e codominio, nel quale a ogni elemento del primo viene associato uno e un solo elemento del secondo. La variabile di partenza si indica solitamente con x e viene detta variabile indipendente, mentre quella che otteniamo come risultato si chiama y ed è la variabile dipendente. Scriviamo y = f(x) per indicare che y è ottenuta applicando alla x una certa regola f. Pensa al costo della frutta al supermercato: se le mele costano 2 € al chilo, allora la spesa dipende dai chili acquistati secondo la regola y = 2x. Se compri 3 chili spendi 6 €, se ne compri 4 spendi 8 €, e non esiste una situazione in cui 3 chili costino contemporaneamente 6 € e 7 €. Questa unicità del risultato è ciò che rende la funzione affidabile e diversa da una relazione qualsiasi.
Come si rappresenta una funzione
Una funzione può essere descritta in modi diversi, tutti utili a seconda della situazione in cui ci troviamo. Il primo modo è la formula, come y = 3x − 1, che permette di calcolare velocemente qualsiasi valore. Il secondo modo è la tabella, dove scriviamo in una colonna i valori di x e nell'altra i valori corrispondenti di y, ottenendo una specie di rubrica numerica. Il terzo modo è il grafico cartesiano, in cui ogni coppia (x, y) diventa un punto sul piano e l'insieme dei punti disegna una linea che racconta visivamente il comportamento della funzione. Immagina di misurare la temperatura della tua stanza ogni ora: la tabella ti dà i numeri esatti, mentre il grafico ti mostra a colpo d'occhio quando fa più caldo. Saper passare da una rappresentazione all'altra è una competenza fondamentale che alleneremo con molti esercizi.
Le funzioni di proporzionalità diretta
Una funzione si dice di proporzionalità diretta quando può essere scritta nella forma y = kx, dove k è un numero fisso chiamato coefficiente di proporzionalità. La caratteristica più interessante è che, raddoppiando la x, raddoppia anche la y, e dimezzando la x si dimezza pure la y, mantenendo sempre lo stesso rapporto. Sul piano cartesiano queste funzioni si rappresentano con una retta che passa sempre per l'origine degli assi, cioè per il punto (0, 0). Un esempio quotidiano è la relazione tra il tempo di viaggio e lo spazio percorso da una bicicletta che va a velocità costante di 15 km/h: in 1 ora percorri 15 km, in 2 ore ne percorri 30, in 3 ore ne percorri 45. La formula è semplicemente s = 15t, e disegnando i punti sul grafico si ottiene una retta inclinata che sale in modo regolare.
Le funzioni di proporzionalità inversa
Nella proporzionalità inversa il legame tra le due grandezze è completamente diverso: quando una aumenta, l'altra diminuisce in modo che il loro prodotto resti sempre uguale. La formula generale è y = k/x, dove k è una costante diversa da zero e x non può mai valere zero, perché la divisione per zero non è definita. Un caso classico è quello degli operai che dipingono una parete: se un operaio impiega 12 ore, due operai ne impiegheranno 6, tre operai 4 ore e così via, perché il lavoro totale resta lo stesso. La formula diventa t = 12/n, dove n è il numero di operai e t le ore necessarie. Il grafico di questa funzione non è una retta ma una curva chiamata iperbole, che si avvicina sempre più agli assi senza mai toccarli, formando due rami simmetrici molto eleganti.
La funzione lineare in generale
La funzione lineare, scritta nella forma y = mx + q, è una piccola generalizzazione della proporzionalità diretta e descrive moltissime situazioni reali. Il numero m si chiama pendenza e indica quanto la retta sale o scende, mentre q è il valore di y quando x vale zero, cioè il punto in cui la retta interseca l'asse verticale. Quando m è positivo la retta sale verso destra, quando m è negativo la retta scende, e quando m vale zero la funzione è costante e il grafico è una linea orizzontale. Pensa al canone di un telefonino: paghi 5 € fissi al mese più 0,10 € per ogni minuto di chiamata, quindi la spesa è y = 0,10x + 5. Anche senza fare nessuna chiamata spendi 5 €, e ogni minuto in più aggiunge un piccolo costo proporzionale: ecco perché q rappresenta la parte fissa e m la parte variabile.
Ricorda
- Una funzione associa a ogni valore di x un unico valore di y, scritto come y = f(x).
- Le funzioni si possono rappresentare con una formula, una tabella o un grafico cartesiano.
- La proporzionalità diretta y = kx ha come grafico una retta passante per l'origine.
- La proporzionalità inversa y = k/x ha come grafico un'iperbole e richiede x diverso da zero.
- La funzione lineare y = mx + q ha pendenza m e intercetta q sull'asse delle y.
Piccola verifica: una pizzeria vende pizze a 7 € l'una e applica un coperto fisso di 2 € a persona. Scrivi la funzione che lega il numero di pizze x alla spesa y di una persona, indica pendenza e intercetta, poi calcola quanto spende chi ordina 3 pizze.