La geometria nello spazio studia le figure che hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza. Per descriverle con precisione usiamo un sistema di riferimento con tre assi perpendicolari.
Il sistema di riferimento cartesiano nello spazio
Nel piano siamo abituati a localizzare un punto con due coordinate, ma nello spazio reale ogni oggetto ha anche una profondità che non possiamo ignorare. Per questo motivo introduciamo un terzo asse, chiamato asse z, perpendicolare contemporaneamente agli assi x e y, ottenendo così una terna di rette che si incontrano in un unico punto chiamato origine. Ogni punto dello spazio viene allora identificato da tre numeri ordinati, scritti nella forma P(x; y; z), dove ciascun valore rappresenta la distanza orientata da uno dei tre piani di riferimento. I tre piani che gli assi formano a coppie (xy, xz, yz) dividono lo spazio in otto regioni chiamate ottanti, paragonabili agli spicchi di un'arancia tagliata lungo tre piani. Quando una delle coordinate è zero significa che il punto giace esattamente su uno dei piani fondamentali, mentre se due coordinate sono zero il punto si trova su uno degli assi. Comprendere questa struttura è fondamentale perché ci permette di tradurre problemi geometrici tridimensionali in calcoli algebrici, esattamente come avviene nel piano cartesiano.
Per calcolare la distanza fra due punti nello spazio si estende il teorema di Pitagora applicandolo due volte, perché bisogna tenere conto anche del salto verticale. Dati due punti A(xA; yA; zA) e B(xB; yB; zB), la formula della distanza diventa AB = √[(xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²], e funziona perché immaginiamo un parallelepipedo che ha AB come diagonale. Allo stesso modo, il punto medio del segmento AB ha coordinate ottenute facendo la media aritmetica delle tre coordinate corrispondenti, cioè M((xA+xB)/2; (yA+yB)/2; (zA+zB)/2). Ad esempio, dati A(1; 2; 3) e B(5; 6; 11), la distanza si calcola come √[(5−1)² + (6−2)² + (11−3)²] = √[16 + 16 + 64] = √96 ≈ 9,8 unità. Queste formule, apparentemente complicate, sono semplicemente l'eco delle stesse regole imparate nel piano.
Volumi, superfici e diagonali dei solidi
Quando passiamo dai punti ai solidi, la geometria nello spazio ci chiede di misurare quanto spazio occupa una figura (il volume) e quanto è ampia la sua buccia esterna (la superficie totale). Per un parallelepipedo rettangolo di dimensioni a, b, c il volume vale V = a·b·c, mentre la superficie totale è S = 2(ab + bc + ac), perché ogni faccia compare due volte in posizioni opposte. Una grandezza tipica dello spazio è la diagonale del parallelepipedo, cioè il segmento che congiunge due vertici opposti attraversando l'interno del solido, e si calcola con d = √(a² + b² + c²), formula che deriva direttamente dalla distanza fra due punti vista sopra. Per i solidi rotondi, come il cilindro e il cono, valgono ancora le formule note: il cilindro ha V = π·r²·h e superficie laterale 2π·r·h, mentre il cono ha V = (π·r²·h)/3 e superficie laterale π·r·a, dove a è l'apotema. La sfera invece, che è il solido più simmetrico, ha volume V = (4/3)π·r³ e superficie S = 4π·r². Per orientarsi tra rette e piani nello spazio si parla di rette parallele, incidenti oppure sghembe, queste ultime tipiche dello spazio perché non si incontrano pur non essendo parallele, come due rette tracciate su due muri perpendicolari di una stanza.
Ricorda
- Un punto nello spazio è individuato da tre coordinate P(x; y; z) e la distanza fra due punti si calcola estendendo il teorema di Pitagora a tre dimensioni.
- Volume e superficie dipendono dalla forma del solido, ma la diagonale di un parallelepipedo segue sempre la regola d = √(a² + b² + c²).
- Nello spazio compaiono nuove relazioni fra rette, in particolare le rette sghembe, che nel piano non esistono.
- Esercizio attivo: sul tuo quaderno, disegna un parallelepipedo di dimensioni 3 cm, 4 cm e 12 cm; calcola volume, superficie totale e lunghezza della diagonale interna, poi colloca i suoi otto vertici nel sistema di riferimento con un vertice nell'origine.