La geometria nello spazio: dal punto al volume

La geometria nello spazio studia le figure che hanno tre dimensioni e ci aiuta a descrivere il mondo reale, fatto di oggetti che occupano un volume e non solo una superficie piatta.

Quando osservi una scatola di cereali sul tavolo della colazione, ti accorgi che non è una semplice figura disegnata sul foglio, ma un oggetto che si estende in tre direzioni diverse. Fino alla seconda media abbiamo studiato soprattutto figure piane, come triangoli e cerchi, che vivono su un piano a due dimensioni. Ora il nostro sguardo si solleva e impara a riconoscere lunghezza, larghezza e altezza come grandezze contemporaneamente presenti. Questa nuova prospettiva si chiama geometria solida e ci permette di calcolare quanto spazio occupa un oggetto, quanta superficie ha la sua buccia esterna e come si posizionano fra loro le sue parti. È un passaggio affascinante, perché collega la matematica scolastica agli oggetti che usiamo ogni giorno, dalla lattina di pomodoro alla piramide vista in un libro di storia.

Gli enti fondamentali nello spazio

Nello spazio ritroviamo i tre enti che già conoscevamo dal piano: il punto, la retta e il piano, ma ora interagiscono in modi nuovi e sorprendenti. Il punto resta privo di dimensioni, la retta possiede solo lunghezza, mentre il piano si estende infinitamente in due direzioni come un foglio senza bordi. La grande novità è che possiamo avere infiniti piani diversi, orientati in tutte le inclinazioni possibili, proprio come accade alle facce di un cubo di Rubik. Due rette nello spazio possono essere parallele, incidenti oppure sghembe, cioè non si incontrano mai pur non essendo parallele, come due fili tesi su livelli diversi di un'impalcatura. Un piano, invece, è individuato da tre punti non allineati, e per questo motivo uno sgabello con tre gambe non traballa mai, mentre quello con quattro talvolta sì.

I poliedri: le figure dalle facce piatte

Un poliedro è un solido racchiuso interamente da poligoni piani chiamati facce, uniti lungo segmenti detti spigoli che si incontrano in vertici comuni. Pensa a un dado da gioco: ha sei facce quadrate, dodici spigoli e otto vertici, e rappresenta il poliedro più familiare, cioè il cubo. Tra i poliedri più importanti incontriamo il prisma, che ha due basi poligonali uguali e parallele collegate da rettangoli, e la piramide, che ha una sola base e facce laterali triangolari convergenti in un vertice. Una scatola di scarpe è un prisma a base rettangolare, mentre i tetti delle case di montagna ricordano spesso una piramide rovesciata. Esiste poi una formula elegante scoperta da Eulero che lega vertici, facce e spigoli con la relazione V + F − S = 2, valida per tutti i poliedri convessi. Provarla sul cubo è semplice: otto vertici più sei facce, meno dodici spigoli, danno proprio due come risultato finale.

I solidi di rotazione

Alcuni solidi non hanno facce piane ma superfici curve, e nascono facendo ruotare una figura piana attorno a un asse fisso, come se la facessimo girare su un perno. Se ruoti un rettangolo attorno a uno dei suoi lati ottieni un cilindro, esattamente la forma di una lattina di bibita o di un bicchiere senza manico. Ruotando un triangolo rettangolo attorno a un cateto si forma invece un cono, simile al cappello di un mago o al cono del gelato che gusti d'estate. La sfera, infine, si ottiene facendo ruotare un semicerchio attorno al proprio diametro, ed è la forma di un pallone da calcio o del nostro pianeta visto dallo spazio. Questi solidi si chiamano solidi di rotazione e mostrano come la geometria nasca anche dal movimento, non solo da figure ferme sul foglio.

Area della superficie e volume

Per descrivere completamente un solido servono due misure diverse: l'area della sua superficie totale e il volume che occupa, due grandezze che spesso vengono confuse ma rispondono a domande differenti. L'area totale ci dice quanta carta servirebbe per ricoprire l'oggetto, ed è utile, per esempio, per calcolare quanto cartone occorre a costruire una scatola regalo. Il volume invece misura lo spazio interno e si esprime in unità cubiche, come centimetri cubi o metri cubi, perché racchiude tre dimensioni simultaneamente. Per calcolare il volume di un prisma o di un cilindro basta moltiplicare l'area di base per l'altezza, mentre piramidi e coni richiedono di dividere quel prodotto per tre. Immagina di voler sapere quanta acqua entra in un acquario lungo 40 cm, largo 25 cm e alto 30 cm: moltiplicando le tre misure ottieni 30000 centimetri cubi, cioè 30 litri esatti.

Ricorda

Ecco i punti chiave da fissare bene nella mente prima di affrontare gli esercizi sui solidi e provare le tue conoscenze su un piccolo problema di verifica.

1. Lo spazio ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza, e in esso vivono punti, rette e piani con relazioni nuove come quella delle rette sghembe.
2. I poliedri sono solidi formati solo da facce poligonali piane, mentre i solidi di rotazione hanno superfici curve generate dal movimento di una figura piana.
3. L'area della superficie misura il rivestimento esterno, mentre il volume misura lo spazio interno occupato dal solido.
4. Per i prismi e i cilindri il volume si calcola come area di base moltiplicata per l'altezza, mentre per piramidi e coni occorre dividere ancora per tre.

Piccolo esercizio di verifica: una piramide a base quadrata ha il lato di base di 6 cm e l'altezza di 10 cm; prova a calcolare il volume applicando la formula corretta e a verificare che il risultato sia 120 centimetri cubi.