Introduzione
La geometria nello spazio studia le figure che non stanno su un foglio, ma occupano un volume reale, come una scatola, una palla o un cono gelato.
Fino ad oggi avete lavorato soprattutto con figure piane, disegnate su un foglio quadrettato e descritte da lunghezze e aree. Ora il discorso si amplia perché entriamo in un mondo a tre dimensioni, lo stesso in cui vivete ogni giorno. Una stanza, uno zaino, una lattina di bibita non sono linee o quadrilateri: sono solidi che hanno lunghezza, larghezza e altezza. Per studiarli serve un linguaggio nuovo, capace di descrivere superfici curve, spigoli che si incrociano e vertici sospesi in aria. In questa scheda scoprirete come riconoscere i solidi, misurarli e collocarli in un sistema di riferimento simile a quello cartesiano del piano.
Dal piano allo spazio: la terza dimensione
Per passare dal piano allo spazio basta aggiungere una direzione nuova, perpendicolare alle altre due, che chiamiamo solitamente altezza o profondità. Mentre nel piano servono due coordinate, x e y, nello spazio ne servono tre, indicate di solito come x, y e z. Questo terzo asse permette di descrivere la posizione di un punto qualsiasi, ad esempio la punta di una matita appoggiata sul banco oppure la lampadina del soffitto. Pensate alla vostra aula: le mattonelle a terra individuano le coordinate x e y, mentre la distanza dal pavimento al soffitto rappresenta la coordinata z. Allo stesso modo, in un supermercato, ogni scatola su uno scaffale si trova in una corsia, in una posizione lungo lo scaffale e a una certa altezza, esattamente come un punto P di coordinate (x, y, z). Capire questo passaggio è la chiave per affrontare tutti gli argomenti successivi.
Rette e piani: come si incontrano nello spazio
Nello spazio rette e piani possono comportarsi in modi che nel piano semplicemente non esistono, e questo rende lo studio più ricco e affascinante. Due rette, ad esempio, possono essere incidenti se si toccano in un punto, parallele se mantengono sempre la stessa distanza, oppure sghembe se non si incontrano mai pur non essendo parallele. Quest'ultimo caso è davvero particolare e merita un esempio chiaro. Immaginate un binario del treno e un cavo della luce che passa sopra la strada: i due non si toccheranno mai, ma non sono nemmeno paralleli, perché viaggiano in direzioni diverse e a quote diverse. Un piano e una retta, invece, possono essere paralleli, incidenti in un punto oppure la retta può appartenere al piano: pensate a una freccia che attraversa una finestra, la sfiora oppure scivola lungo il vetro. Anche due piani possono essere paralleli, come il pavimento e il soffitto, oppure incidenti, come due pareti che si incontrano formando uno spigolo.
I poliedri: solidi con facce piatte
Un poliedro è un solido racchiuso da facce poligonali, unite lungo gli spigoli e che si incontrano nei vertici, formando una superficie chiusa. I poliedri più importanti per voi sono il prisma e la piramide, ma esistono anche solidi speciali chiamati poliedri regolari, come il cubo e il tetraedro, con tutte le facce uguali. Il prisma ha due basi congruenti e parallele unite da facce laterali rettangolari: una confezione di cioccolatini Toblerone è un perfetto prisma a base triangolare. La piramide, invece, ha una sola base poligonale e tutte le facce laterali convergono in un unico vertice, come accade nelle famose costruzioni egizie di Giza. Tra le proprietà notevoli ricordate la formula di Eulero, che lega vertici, spigoli e facce con la relazione V − S + F = 2, valida per ogni poliedro convesso. Provate a verificarla su un cubo: V = 8, S = 12, F = 6, e infatti 8 − 12 + 6 = 2.
I solidi di rotazione: cilindro, cono e sfera
Alcuni solidi non nascono da poligoni ma dalla rotazione di una figura piana attorno a un asse, e per questo si chiamano solidi di rotazione. Il cilindro si ottiene facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati, il cono nasce dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto, e la sfera deriva da un semicerchio che gira attorno al proprio diametro. Una lattina di tonno è un cilindro evidente, mentre il classico cappello da festa di compleanno è un cono quasi perfetto. La sfera, invece, la incontrate nel pallone da calcio, nelle biglie e nella forma approssimata del nostro pianeta. Questi solidi sono molto frequenti negli oggetti di uso quotidiano perché la loro forma curva è resistente e occupa lo spazio in modo efficiente. Studiarli significa imparare a calcolare superfici curve, dove non bastano più i semplici poligoni del piano.
Superficie e volume: misurare lo spazio occupato
Per descrivere un solido in modo completo servono due misure fondamentali, la superficie totale e il volume, che rispondono a domande diverse ma altrettanto pratiche. La superficie totale misura quanta carta serve per ricoprire completamente il solido, ed è la somma delle aree di tutte le sue facce o della sua superficie curva. Il volume invece misura quanto spazio interno occupa il solido, cioè quanta acqua, sabbia o aria può contenere al suo interno. Quando incartate un regalo a forma di scatola usate la superficie totale per calcolare la carta necessaria, mentre quando riempite una bottiglia d'acqua state ragionando sul suo volume. Le formule cambiano a seconda del solido: per il cubo di spigolo l si ha superficie 6·l² e volume l³, mentre per il cilindro di raggio r e altezza h valgono 2πr(r+h) e πr²h. Le unità di misura sono molto importanti: la superficie si esprime in metri quadrati, mentre il volume in metri cubi o in litri.
Coordinate nello spazio: un assaggio di geometria analitica
Proprio come nel piano cartesiano, anche nello spazio possiamo collocare ogni punto usando un sistema di riferimento, formato però da tre assi perpendicolari tra loro. Ogni punto è identificato da una terna ordinata di numeri (x, y, z), che rappresentano le sue distanze con segno dai tre piani coordinati. Questo strumento è potentissimo, perché permette di risolvere problemi geometrici usando l'algebra, trasformando figure in equazioni e calcoli in disegni. Pensate al GPS del telefono: per indicare la vostra posizione precisa servono latitudine, longitudine e altitudine, cioè proprio tre coordinate. Allo stesso modo, in un videogioco tridimensionale, ogni personaggio e ogni ostacolo è descritto da una terna di numeri che il computer aggiorna istante per istante. La distanza tra due punti A(x₁, y₁, z₁) e B(x₂, y₂, z₂) si calcola con una formula che estende il teorema di Pitagora: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
Ricorda
Di seguito trovate i punti chiave della scheda, da rileggere prima di affrontare gli esercizi e da tenere sempre a mente quando lavorate con i solidi.
- Lo spazio ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza, descritte dalle coordinate x, y, z.
- Due rette nello spazio possono essere incidenti, parallele oppure sghembe, caso che nel piano non esiste.
- I poliedri hanno facce piane, mentre i solidi di rotazione hanno almeno una superficie curva.
- Per ogni poliedro convesso vale la formula di Eulero: V − S + F = 2.
- La superficie totale si misura in unità quadrate, il volume in unità cubiche o in litri.
- La distanza tra due punti nello spazio si calcola estendendo il teorema di Pitagora a tre dimensioni.
Piccolo esercizio di verifica
Una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo ha dimensioni 4 cm, 3 cm e 12 cm. Rispondete alle seguenti domande, mostrando i calcoli sul quaderno:
- Calcolate il volume della scatola e indicate l'unità di misura corretta.
- Calcolate la superficie totale, utile per sapere quanta carta serve per ricoprirla.
- Considerando un vertice come origine (0, 0, 0) e gli spigoli lungo gli assi, scrivete le coordinate del vertice opposto.
- Calcolate la lunghezza della diagonale interna della scatola usando la formula della distanza nello spazio.