I numeri relativi estendono i numeri naturali aggiungendo un segno (+ o −) che indica una direzione rispetto allo zero, permettendo così di rappresentare grandezze opposte come crediti e debiti, temperature sopra e sotto lo zero, altitudini e profondità.
In matematica capita spesso di dover descrivere situazioni in cui due grandezze hanno verso opposto: la temperatura può salire o scendere, un conto bancario può registrare un guadagno o una perdita, una quota può essere sopra o sotto il livello del mare. Per descrivere queste situazioni in modo preciso usiamo i numeri relativi, cioè numeri preceduti da un segno positivo o negativo. L'insieme dei numeri relativi interi si indica con la lettera Z e contiene lo zero, i numeri positivi e i numeri negativi. Lo zero è l'unico numero relativo privo di segno, perché rappresenta il punto di riferimento da cui si misura ogni altra quantità.
La retta orientata e il valore assoluto
Ogni numero relativo corrisponde a un punto preciso su una retta orientata, sulla quale si fissano un'origine (lo zero), un verso di percorrenza e un'unità di misura. I numeri positivi si trovano a destra dello zero, quelli negativi a sinistra, e ciascun punto rappresenta uno e un solo numero. Due numeri che si trovano alla stessa distanza dallo zero, ma da parti opposte, si dicono opposti: per esempio +5 e −5 sono opposti perché distano entrambi cinque unità dall'origine. Il valore assoluto di un numero relativo è proprio questa distanza dallo zero, scritta tra due barrette verticali, ed è sempre un numero positivo o nullo: |−7| = 7 e |+7| = 7. Per confrontare due numeri relativi basta osservare la loro posizione sulla retta: è maggiore il numero che si trova più a destra, quindi +2 > −9 anche se 9 ha valore assoluto più grande. Tra due numeri negativi, invece, è maggiore quello con valore assoluto minore, perché più vicino allo zero: −3 > −8.
Le operazioni con i numeri relativi
Per sommare due numeri relativi con lo stesso segno si sommano i valori assoluti e si mantiene il segno comune, come in (+4) + (+6) = +10 oppure (−4) + (−6) = −10. Quando invece i segni sono discordi si sottrae il valore assoluto minore dal maggiore e si tiene il segno del numero con valore assoluto più grande: (+9) + (−4) = +5, mentre (−9) + (+4) = −5. La sottrazione si trasforma sempre in un'addizione cambiando il segno del sottraendo, quindi (+7) − (−3) diventa (+7) + (+3) = +10. Nella moltiplicazione e nella divisione la regola dei segni stabilisce che segni uguali danno risultato positivo e segni diversi danno risultato negativo, perciò (−6) · (−2) = +12 e (−6) : (+2) = −3. Le potenze seguono la stessa logica: una base negativa elevata a esponente pari dà risultato positivo, mentre elevata a esponente dispari mantiene il segno negativo, come in (−2)³ = −8. Ricorda infine che le parentesi sono fondamentali per non confondere il segno dell'operazione con quello del numero.
Ricorda
- Ogni numero relativo è formato da un segno e da un valore assoluto, e occupa un punto unico sulla retta orientata.
- Per confrontare due numeri relativi si guarda la posizione sulla retta: chi sta più a destra è maggiore, e ogni numero positivo supera qualunque numero negativo.
- Nelle operazioni si applicano la regola dei segni per moltiplicazione e divisione e la trasformazione della sottrazione in addizione dell'opposto.
Esercizio di verifica sul quaderno: disegna una retta orientata con unità 1 cm, segna i numeri −4, −1, 0, +2, +5, calcola |−4| + |+5|, e indica quale tra −4 e +2 ha valore assoluto maggiore pur essendo il minore dei due.