I numeri relativi sono numeri dotati di un segno (+ o −) che permettono di rappresentare grandezze opposte come temperature sotto zero, debiti, profondità marine e quote in altitudine.
Perché esistono i numeri relativi
Fin dalla scuola primaria hai conosciuto i numeri naturali, utili per contare oggetti concreti come penne, mele o passi. Tuttavia, quando si tratta di descrivere il mondo reale, i numeri naturali da soli non bastano più, perché esistono situazioni opposte tra loro. Pensa al termometro che segna cinque gradi sopra lo zero in una mattina d'autunno e poi tre gradi sotto lo zero in una notte d'inverno: servono due numeri diversi per due situazioni davvero diverse. Lo stesso succede quando parli di soldi: un guadagno di venti euro e una spesa di venti euro non possono essere indicati con lo stesso simbolo, perché producono effetti opposti sul tuo portafoglio. I matematici hanno quindi inventato i numeri relativi, formati da un segno e da un valore numerico, per descrivere queste coppie di situazioni opposte. Grazie ad essi possiamo finalmente scrivere con precisione altitudini e profondità, crediti e debiti, anni dopo Cristo e anni avanti Cristo.
Come si scrive un numero relativo
Ogni numero relativo è composto da due informazioni essenziali che lavorano insieme: il segno, che può essere più o meno, e il valore assoluto, cioè il numero senza segno. Quando scriviamo +7 leggiamo "più sette" e indichiamo un numero positivo, mentre quando scriviamo −7 leggiamo "meno sette" e indichiamo un numero negativo. Il valore assoluto si scrive racchiudendo il numero tra due barrette verticali, perciò il valore assoluto di +7 è |+7| = 7 e quello di −7 è |−7| = 7. È molto importante non confondere il segno con l'operazione di addizione o sottrazione: nella scrittura −3 il segno meno è parte integrante del numero, non un'operazione da svolgere. Lo zero è un caso speciale, perché non è né positivo né negativo, e per questo motivo si scrive semplicemente 0 senza alcun segno. Per chiarire la differenza, considera che il numero −12 può rappresentare dodici metri sotto il livello del mare, mentre |−12| = 12 indica la distanza percorsa, sempre positiva.
La retta dei numeri
Immagina una linea retta orizzontale infinita, con una freccia che indica la direzione in cui i numeri crescono, e scegli su di essa un punto di riferimento chiamato origine, che corrisponde allo zero. A destra dello zero, a distanze uguali, segnamo i numeri positivi +1, +2, +3 e così via, mentre a sinistra, alle stesse distanze, segnamo i numeri negativi −1, −2, −3 e via dicendo. In questo modo ogni numero relativo trova un suo posto preciso e unico sulla retta, e ad ogni punto della retta corrisponde un unico numero relativo. Per leggere la retta correttamente devi ricordare che, spostandoti verso destra, i numeri aumentano sempre, mentre spostandoti verso sinistra diminuiscono sempre. Un esempio quotidiano è il termometro disposto in verticale: lo zero è al centro, sopra trovi le temperature positive e sotto quelle negative, esattamente come una retta dei numeri ruotata di novanta gradi. Allo stesso modo l'ascensore di un palazzo con i piani interrati ha il piano terra come zero, il primo piano come +1 e il primo sotterraneo come −1.
Confrontare e ordinare i numeri relativi
Per confrontare due numeri relativi e decidere quale dei due sia maggiore, basta osservare la loro posizione sulla retta: è sempre più grande il numero che sta più a destra. Tra due numeri positivi vince quello con valore assoluto maggiore, quindi +9 è maggiore di +4, esattamente come accade con i numeri naturali. Tra due numeri negativi, invece, accade il contrario, perché vince quello con valore assoluto minore: per esempio −2 è maggiore di −8, perché −2 si trova più a destra sulla retta. Qualsiasi numero positivo è sempre maggiore di qualsiasi numero negativo, e lo zero è maggiore di tutti i negativi ma minore di tutti i positivi. Un esempio chiarissimo riguarda le temperature: una giornata a −2 gradi è più calda di una giornata a −8 gradi, anche se intuitivamente potrebbe sembrare il contrario a chi si lascia ingannare dal numero più grande senza segno. Un secondo esempio è il conto in banca: un saldo di −15 euro indica un debito minore rispetto a un saldo di −50 euro, perché perdere meno soldi è meglio che perderne molti.
Numeri opposti e valore assoluto
Due numeri si dicono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi, e sulla retta dei numeri si trovano alla stessa distanza dallo zero, uno a destra e uno a sinistra. Sono per esempio opposti la coppia +6 e −6, la coppia +15 e −15 e la coppia +0,5 e −0,5, e l'opposto di zero è zero stesso. Il valore assoluto, che abbiamo già incontrato, rappresenta proprio la distanza del numero dallo zero, e per questo motivo non può mai essere negativo, perché una distanza è sempre positiva o nulla. Capire bene questo concetto ti tornerà utilissimo quando dovrai eseguire le operazioni, perché molte regole funzionano confrontando i valori assoluti. Un esempio concreto è la quota delle Alpi rispetto al livello del mare: una vetta a +3000 metri e una fossa marina a −3000 metri sono numeri opposti, perché distano dal livello del mare la stessa quantità. Allo stesso modo, un guadagno di 50 euro e una multa di 50 euro sono opposti dal punto di vista del bilancio familiare.
Addizione e sottrazione di numeri relativi
Le operazioni con i numeri relativi seguono regole precise che dipendono dai segni degli operandi, ed è fondamentale impararle a memoria attraverso molti esempi. Per sommare due numeri concordi, cioè con lo stesso segno, si sommano i valori assoluti e si mantiene il segno comune: così (+5) + (+3) = +8 e (−5) + (−3) = −8. Per sommare due numeri discordi, cioè con segni diversi, si sottrae il valore assoluto minore dal maggiore e si mette il segno di quello con valore assoluto maggiore: ad esempio (+7) + (−4) = +3 e (−9) + (+2) = −7. La sottrazione tra numeri relativi si trasforma sempre in un'addizione, sommando al primo numero l'opposto del secondo: per calcolare (+6) − (+9) basta scrivere (+6) + (−9) = −3. Ecco i passi da seguire ogni volta:
- Osserva i segni dei due numeri e capisci se sono concordi o discordi.
- Se l'operazione è una sottrazione, trasformala in addizione cambiando il segno al secondo numero.
- Applica la regola dei segni per le addizioni, eseguendo i calcoli con i valori assoluti.
Un esempio quotidiano è quello del termometro: se la temperatura è di −3 gradi e scende di altri 4 gradi, calcoli (−3) + (−4) = −7 gradi. Un altro esempio riguarda il conto bancario: se hai un debito di 20 euro, scritto come −20, e versi 35 euro, ottieni (−20) + (+35) = +15 euro di credito.
Moltiplicazione e divisione di numeri relativi
Nelle operazioni di moltiplicazione e divisione la regola dei segni è molto più semplice da ricordare rispetto all'addizione, perché dipende soltanto dai segni degli operandi e non dai loro valori. Quando due numeri hanno segni concordi, cioè entrambi positivi o entrambi negativi, il risultato è sempre positivo: per esempio (+4) · (+3) = +12 e (−4) · (−3) = +12. Quando invece due numeri hanno segni discordi, uno positivo e uno negativo, il risultato è sempre negativo: per esempio (+6) · (−2) = −12 e (−10) : (+5) = −2. Una regola utilissima da memorizzare è la cosiddetta regola dei segni, che possiamo riassumere così: più per più dà più, meno per meno dà più, più per meno dà meno, meno per più dà meno. Per ricordarla puoi pensare che due segni uguali si trasformano in un più, mentre due segni diversi si trasformano in un meno. Un esempio concreto è quello di un debito ripetuto: se devi pagare tre rate da 50 euro ciascuna, calcoli 3 · (−50) = −150 euro, cioè un debito complessivo di centocinquanta euro. Un altro esempio è la divisione: se un sommergibile è sceso di −200 metri in 4 ore, la sua velocità verticale media è (−200) : 4 = −50 metri all'ora.
Curiosità storica
I numeri negativi non sono sempre stati accettati dai matematici, e per molti secoli furono considerati assurdi, falsi o privi di senso. I cinesi li usavano già duemila anni fa nei loro calcoli commerciali, distinguendo i bastoncini rossi per i debiti e i bastoncini neri per i crediti, anticipando in parte la nostra colorazione contabile. In Europa, invece, dovettero aspettare il Rinascimento per essere accettati pienamente, e ancora nel Seicento alcuni studiosi li chiamavano numeri "assurdi" o "fittizi", perché non riuscivano a immaginarsi una quantità minore del nulla. Solo nell'Ottocento i matematici svilupparono una teoria solida che li rese strumenti indispensabili della scienza moderna. Oggi i numeri negativi sono presenti dappertutto, dai bilanci delle aziende ai grafici delle previsioni meteo, dalle coordinate dei videogiochi alle equazioni della fisica. Pensa che senza di essi non potresti calcolare la differenza tra punti vinti e persi in una partita, né capire quando il tuo telefono ha la batteria in carica oppure in scarica.
Ricorda
Ecco i punti chiave da fissare bene nella tua mente prima di affrontare gli esercizi:
- Un numero relativo è formato da un segno (+ o −) e da un valore assoluto, e lo zero non ha segno.
- Sulla retta dei numeri ogni numero ha una posizione precisa, e i numeri crescono spostandosi verso destra.
- Tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore, quindi −2 è maggiore di −10.
- Due numeri opposti hanno stesso valore assoluto e segni diversi, e la loro somma è sempre zero.
- Nelle moltiplicazioni e divisioni, segni concordi danno risultato positivo, segni discordi danno risultato negativo.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: disegna una retta dei numeri da −10 a +10, segna i punti corrispondenti ai numeri −7, +4, −3 e +9, poi calcola sul quaderno il risultato di queste tre operazioni e scrivi accanto a ciascuna se il risultato è positivo o negativo: (−7) + (+9), (+4) · (−3) e (−12) : (−4). Infine scrivi a parole l'opposto di ciascuno dei numeri segnati e il loro valore assoluto, controllando con un compagno o un familiare se i tuoi risultati coincidono con i suoi.