I rapporti confrontano due grandezze e le proporzioni esprimono l'uguaglianza tra due rapporti, permettendo di risolvere moltissimi problemi pratici.
In matematica capita spesso di dover confrontare due numeri o due grandezze per capire quante volte uno contiene l'altro. Questo confronto si chiama rapporto e si scrive come una divisione o come una frazione, ad esempio 6 : 3 oppure 6/3. Il primo numero prende il nome di antecedente, mentre il secondo si chiama conseguente e non può mai essere uguale a zero. Quando due rapporti hanno lo stesso valore, scriviamo una uguaglianza chiamata proporzione, che diventa uno strumento molto potente per ragionare sulle quantità.
Il rapporto e le sue proprietà
Il rapporto tra due numeri a e b, con b diverso da zero, è il quoziente a : b e indica quante volte a contiene b oppure quale parte a rappresenta di b. Se i due numeri rappresentano grandezze della stessa specie, come due lunghezze in metri, il rapporto è un numero puro senza unità di misura. Se invece le grandezze sono di specie diverse, come chilometri e ore, otteniamo una grandezza derivata, ad esempio la velocità. Una proprietà fondamentale è che, moltiplicando o dividendo entrambi i termini per uno stesso numero diverso da zero, il valore del rapporto non cambia, esattamente come accade nelle frazioni equivalenti. Per questo motivo possiamo sempre semplificare un rapporto fino a ottenere la sua forma più ridotta, che risulta più semplice da leggere e confrontare.
La proporzione e la proprietà fondamentale
Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti e si scrive nella forma a : b = c : d, che si legge "a sta a b come c sta a d". I termini a e d si chiamano estremi, mentre b e c sono i medi, e questa distinzione è importantissima per ricordare la regola principale. La proprietà fondamentale afferma che in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè a · d = b · c. Grazie a questa proprietà possiamo calcolare un termine incognito quando conosciamo gli altri tre, semplicemente isolando l'incognita con una divisione. Per esempio, nella proporzione 4 : 8 = 5 : x, applichiamo la regola e otteniamo x = (8 · 5) : 4 = 10, che verifica perfettamente l'uguaglianza dei due rapporti.
Ricorda
- Un rapporto a : b confronta due grandezze e richiede sempre che il conseguente b sia diverso da zero.
- In ogni proporzione a : b = c : d il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: questa è la chiave per trovare il termine incognito.
- Quando una grandezza raddoppia e l'altra raddoppia con lei abbiamo proporzionalità diretta; quando invece una raddoppia e l'altra si dimezza, parliamo di proporzionalità inversa.
- Piccolo esercizio attivo: copia sul quaderno la proporzione 9 : 12 = x : 20, calcola il valore di x usando la proprietà fondamentale e poi verifica che i due rapporti, una volta semplificati, diano davvero lo stesso risultato.