I rapporti e le proporzioni sono uno strumento potentissimo per confrontare grandezze, scalare misure e capire come due quantità cambiano insieme. Imparare a maneggiarli ti aprirà la porta a percentuali, scale geografiche, ricette in cucina e perfino a leggere correttamente i grafici dei giornali.
Che cos'è un rapporto
Un rapporto è il confronto tra due grandezze omogenee, cioè dello stesso tipo, fatto attraverso una divisione anziché una sottrazione. Quando dividiamo 12 per 4 otteniamo 3, e questo numero ci dice quante volte la prima quantità contiene la seconda. Il rapporto tra due numeri a e b, con b diverso da zero, si scrive a:b oppure a/b e si legge "a sta a b". Il primo numero si chiama antecedente, il secondo si chiama conseguente, e il risultato della divisione è il valore o quoziente del rapporto. Attenzione a non confondere il rapporto con la differenza: dire che Marco ha 6 anni in più di sua sorella è diverso dal dire che ha il doppio degli anni.
Un esempio concreto: in una classe ci sono 18 femmine e 12 maschi, quindi il rapporto femmine-maschi è 18:12, che semplificato diventa 3:2. Un secondo esempio: se in una bottiglia ci sono 750 mL di succo e in una caraffa 3 L, prima di scrivere il rapporto dobbiamo trasformare le unità, ottenendo 750:3000, cioè 1:4.
Rapporti tra grandezze diverse
Quando confrontiamo due grandezze di natura diversa, come spazio e tempo oppure costo e peso, il rapporto non è più un numero puro ma diventa una nuova grandezza derivata con una propria unità di misura. Il rapporto tra una distanza e un tempo, ad esempio, dà origine alla velocità, espressa in km/h o m/s. Allo stesso modo, il rapporto tra il prezzo di un prodotto e il suo peso ci fornisce il costo al chilogrammo, una grandezza che usiamo costantemente al supermercato per confrontare le offerte. Queste grandezze derivate sono utilissime perché permettono di paragonare situazioni diverse con un unico criterio oggettivo.
Un esempio dalla vita quotidiana: un'auto percorre 240 km in 3 ore, quindi la sua velocità media è 240:3 = 80 km/h. Un altro esempio: una confezione da 1,5 kg di pasta costa 4,50 €, perciò il prezzo unitario è 4,50:1,5 = 3 €/kg.
Che cos'è una proporzione
Una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti e si scrive nella forma a:b = c:d, che si legge "a sta a b come c sta a d". I quattro numeri a, b, c, d si chiamano termini della proporzione: a e d occupano le posizioni estreme e si chiamano estremi, mentre b e c stanno in mezzo e si chiamano medi. Una proporzione, quindi, esprime l'idea che due confronti diversi danno lo stesso risultato e perciò sono equivalenti. Le proporzioni ci permettono di fare previsioni: conoscendo tre termini, possiamo sempre ricavare il quarto.
Un esempio: 6:9 = 10:15 è una proporzione vera perché entrambi i rapporti valgono 2/3. Un secondo esempio: se per fare una torta servono 200 g di farina ogni 4 uova, allora 200:4 = 300:6, perché con 6 uova ne serviranno 300 g.
La proprietà fondamentale e il calcolo del termine incognito
La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi: se a:b = c:d, allora a·d = b·c. Questa regola è il vero motore di tutti i calcoli con le proporzioni, perché ci permette di trovare un termine quando non lo conosciamo. Per calcolare un estremo incognito moltiplichiamo i medi e dividiamo per l'estremo noto; per calcolare un medio incognito moltiplichiamo gli estremi e dividiamo per il medio noto. Esistono anche altre proprietà utili, come quella dell'invertire (scambiare antecedenti e conseguenti) e quella del comporre, ma la più importante resta quella fondamentale.
Ecco i passi per trovare il termine incognito x in una proporzione del tipo a:b = c:x:
- Riconosci la posizione di x: in questo caso è un estremo.
- Moltiplica tra loro i due termini opposti a x della stessa "specie", quindi i medi b e c.
- Dividi il risultato per il termine rimasto, cioè per a.
- Scrivi il valore trovato e verifica che il prodotto dei medi sia uguale al prodotto degli estremi.
Un esempio: nella proporzione 5:8 = 15:x, calcoliamo x = (8·15):5 = 120:5 = 24. Un altro esempio: nella proporzione 3:x = 9:21, x è un medio, quindi x = (3·21):9 = 63:9 = 7.
La proporzionalità diretta
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando il loro rapporto rimane costante, cioè se una raddoppia anche l'altra raddoppia, se una si dimezza anche l'altra si dimezza. La costante che esprime questo rapporto si chiama costante di proporzionalità diretta e si indica spesso con la lettera k. La relazione si può scrivere come y = k·x, oppure come y/x = k, e nel piano cartesiano è rappresentata da una retta che passa per l'origine. Riconoscere una proporzionalità diretta è molto utile perché ci consente di prevedere valori senza dover ripetere mille volte lo stesso calcolo.
Un esempio: se 1 kg di mele costa 2 €, allora 3 kg costano 6 € e 5 kg ne costano 10, perché il rapporto prezzo/peso è sempre 2. Un secondo esempio: uno scuolabus che viaggia a velocità costante percorre 40 km in 30 minuti e 80 km in 60 minuti, perché spazio e tempo sono direttamente proporzionali.
La proporzionalità inversa
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il loro prodotto rimane costante, cioè se una raddoppia l'altra si dimezza, se una triplica l'altra diventa un terzo. In questo caso la relazione si scrive x·y = k, oppure y = k/x, e nel piano cartesiano è rappresentata da una curva chiamata iperbole. Le situazioni di proporzionalità inversa sono molto comuni nei problemi di lavoro, di velocità e di ripartizione, e dobbiamo sempre fare attenzione a distinguerle dalle proporzionalità dirette, perché i ragionamenti che si applicano sono opposti.
Un esempio: se 4 muratori costruiscono un muro in 12 giorni, allora 8 muratori (il doppio) impiegheranno solo 6 giorni (la metà), perché il prodotto operai·giorni resta costante e vale 48. Un secondo esempio: per percorrere 120 km, un'auto a 60 km/h impiega 2 ore, mentre a 120 km/h ne impiega solo 1, perché velocità e tempo sono inversamente proporzionali quando lo spazio è fissato.
Applicazioni: percentuali, scale e ripartizioni
Le proporzioni sono lo strumento ideale per risolvere problemi di percentuale, perché calcolare il p% di una quantità significa risolvere la proporzione parte:totale = p:100. Anche nelle carte geografiche e nei modellini in scala si usano i rapporti: una scala 1:100 000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a 100 000 cm nella realtà, ovvero 1 km. Inoltre, quando dobbiamo dividere una somma in parti proporzionali a numeri assegnati, possiamo trasformare il problema in una catena di proporzioni e risolverlo passo passo. Queste tre applicazioni mostrano quanto i rapporti siano vivi e utili al di fuori del libro di matematica.
Un esempio di percentuale: il 15% di 80 si calcola con 80·15:100 = 12. Un esempio di scala: due paesi distano 3,5 cm su una carta in scala 1:200 000, quindi nella realtà distano 3,5·200 000 = 700 000 cm, cioè 7 km.
Ricorda
Ecco i punti chiave da fissare bene in mente:
- Il rapporto tra a e b è il quoziente a:b e confronta due grandezze omogenee o di tipo diverso.
- Una proporzione è l'uguaglianza a:b = c:d, dove a e d sono gli estremi e b e c sono i medi.
- La proprietà fondamentale dice che prodotto degli estremi = prodotto dei medi.
- Nella proporzionalità diretta il rapporto y/x è costante; nella proporzionalità inversa è il prodotto x·y a essere costante.
- Le proporzioni sono utilissime per percentuali, scale e ripartizioni.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: una sarta usa 6 m di stoffa per cucire 4 grembiuli identici. Quanti metri le servono per cucire 10 grembiuli? Scrivi la proporzione corretta, indica se si tratta di proporzionalità diretta o inversa, calcola il valore richiesto applicando la proprietà fondamentale e verifica il risultato controllando che il rapporto stoffa/grembiuli rimanga costante.