Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti: quando due coppie di numeri mantengono lo stesso confronto, possiamo collegarle con il segno di uguale e scoprire valori sconosciuti.
In matematica capita spesso di confrontare due grandezze tra loro, ad esempio il numero di pagine lette e le ore di studio. Quando questo confronto si ripete in modo costante, otteniamo dei rapporti uguali e nasce una proporzione. Le proporzioni sono uno strumento potente perché permettono di passare da una situazione nota a una sconosciuta mantenendo le stesse condizioni. Le useremo in geometria per le figure simili, in fisica per la velocità, ma anche in cucina per dosare gli ingredienti e nei disegni in scala. Capirle bene significa imparare a ragionare sulle relazioni tra i numeri, non solo a fare calcoli meccanici.
Che cos'è una proporzione e come si legge
Una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti e si scrive nella forma a : b = c : d, che si legge "a sta a b come c sta a d". I quattro numeri si chiamano termini della proporzione: il primo e il quarto (a e d) sono detti estremi, mentre il secondo e il terzo (b e c) sono detti medi. Affinché una proporzione sia vera, deve valere la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè b · c = a · d. Questa regola è il cuore di tutto l'argomento, perché ci consente sia di verificare se una proporzione è corretta, sia di trovare un termine mancante quando ne conosciamo gli altri tre. Per esempio, nella scrittura 4 : 6 = 10 : 15 abbiamo 4 · 15 = 60 e 6 · 10 = 60, quindi la proporzione è vera e i due rapporti rappresentano lo stesso confronto.
Calcolare il termine incognito
Quando in una proporzione manca un numero, lo indichiamo con una lettera (di solito x) e lo calcoliamo applicando la proprietà fondamentale, isolando l'incognita con una divisione. Se l'incognita è un medio, si trova facendo il prodotto degli estremi diviso il medio noto; se invece è un estremo, si calcola il prodotto dei medi diviso l'estremo noto. È utile conoscere anche le proprietà derivate: la proprietà dell'invertire (scambiando ciascun antecedente con il proprio conseguente), del permutare (scambiando i medi o gli estremi tra loro), del comporre e dello scomporre, che semplificano molti calcoli. Ricorda sempre di controllare che le unità di misura siano coerenti, perché confrontare metri con centimetri o ore con minuti porta a risultati sbagliati. Infine, dopo aver trovato x, sostituiscilo nella proporzione iniziale e verifica che i due prodotti coincidano: è il modo più sicuro per non commettere errori.
Ricorda
- In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: questa è la regola da applicare sempre.
- Per trovare un medio incognito: (estremo · estremo) ÷ medio noto; per trovare un estremo incognito: (medio · medio) ÷ estremo noto.
- Esercizio di verifica sul quaderno: scrivi la proporzione 8 : x = 12 : 18, calcola x usando la proprietà fondamentale e poi verifica che i due prodotti siano davvero uguali.