Le proporzioni: uguaglianze tra rapporti

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti che ci permette di confrontare grandezze e di risolvere problemi quotidiani: dalle ricette in cucina alle riduzioni in scala delle mappe.

Dal rapporto alla proporzione

Prima di parlare di proporzioni dobbiamo ricordare che cos'è un rapporto tra due numeri: è il quoziente tra il primo e il secondo, scritto nella forma a:b oppure come frazione a/b, con b diverso da zero. Quando in una situazione concreta troviamo due rapporti che danno lo stesso risultato, possiamo unirli in una sola scrittura con il segno di uguale, ottenendo così una proporzione. La forma generale di una proporzione è a:b=c:d e si legge "a sta a b come c sta a d", proprio perché i due rapporti esprimono la stessa relazione, anche se con numeri diversi. I termini a e d sono detti estremi, mentre b e c sono detti medi: questa distinzione sarà fondamentale per applicare le proprietà che vedremo nelle prossime sezioni. Capire bene la differenza tra rapporto e proporzione è il primo passo, perché sbagliarli equivale a confondere una singola frazione con un'equazione. Una proporzione, infatti, è sempre una vera e propria uguaglianza che si può verificare o utilizzare per scoprire un termine mancante.

Un primo esempio quotidiano: se in una classe di 24 alunni ci sono 9 femmine, il rapporto femmine/totale è 9:24, equivalente a 3:8, e possiamo scrivere la proporzione 9:24=3:8. Un secondo esempio: in un sacchetto di caramelle, se per ogni 2 caramelle alla menta ce ne sono 5 alla frutta, abbiamo il rapporto 2:5, e in un sacchetto più grande con 8 alla menta e 20 alla frutta vale la proporzione 2:5=8:20.

La proprietà fondamentale

La proprietà più importante delle proporzioni è la cosiddetta proprietà fondamentale, che dice: in ogni proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Se scriviamo a:b=c:d, allora vale sempre l'uguaglianza a·d=b·c, e questa relazione si verifica per qualunque proporzione vera. Questa proprietà è preziosa perché ci permette di controllare velocemente se quattro numeri formano davvero una proporzione, semplicemente moltiplicando e confrontando i due prodotti. Inoltre, sarà la chiave per calcolare un termine sconosciuto, perché ogni volta che ne conosciamo tre possiamo ricavare il quarto risolvendo una semplice moltiplicazione e una divisione. Per evitare errori, conviene allinearsi bene i quattro termini e disegnare mentalmente una piccola "X": le due diagonali della X rappresentano proprio medi ed estremi che si moltiplicano. Senza questa proprietà, le proporzioni resterebbero solo una scrittura simbolica, mentre grazie ad essa diventano un vero strumento di calcolo.

Primo esempio di verifica: la scrittura 4:6=10:15 è una proporzione perché 4·15=60 e 6·10=60, quindi i prodotti coincidono. Secondo esempio: la scrittura 3:7=9:20 non è una proporzione, perché 3·20=60 mentre 7·9=63, e poiché i prodotti sono diversi i due rapporti non sono uguali.

Calcolare un termine incognito

Nella maggior parte dei problemi conosciamo tre dei quattro termini di una proporzione e dobbiamo trovare quello mancante, chiamato spesso incognito e indicato con la lettera x. Il metodo è sempre lo stesso e si basa sulla proprietà fondamentale appena vista, applicata in modo da isolare la x con un semplice passaggio. Per organizzare bene il calcolo conviene seguire una procedura precisa, che si adatta sia al caso in cui l'incognita sia un estremo, sia al caso in cui sia un medio. L'idea è che, una volta uguagliati i prodotti, ci ritroviamo davanti a un'equazione del tipo "x moltiplicato per un numero = un altro numero", che si risolve con una divisione.

1. Scrivi la proporzione mettendo bene in evidenza la x al suo posto.
2. Applica la proprietà fondamentale: prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi.
3. Isola la x dividendo il prodotto noto per il numero che la moltiplica.
4. Esegui il calcolo e controlla che il risultato renda vera la proporzione iniziale.

Primo esempio: nella proporzione x:8=15:24 la x è un estremo, quindi scriviamo 24·x=8·15, cioè 24·x=120, da cui x=120:24=5. Secondo esempio: nella proporzione 6:9=4:x la x è un estremo, applichiamo 6·x=9·4=36 e otteniamo x=36:6=6.

Le altre proprietà delle proporzioni

Oltre alla proprietà fondamentale esistono altre proprietà molto utili, che ci permettono di trasformare una proporzione in un'altra equivalente, talvolta più comoda per i calcoli. La proprietà dell'invertire ci dice che, scambiando ogni rapporto con il suo inverso, otteniamo ancora una proporzione: da a:b=c:d ricaviamo b:a=d:c. La proprietà del permutare medi consente di scambiare tra loro i due medi ottenendo a:c=b:d, mentre la proprietà del permutare estremi permette di scambiare gli estremi ottenendo d:b=c:a. Queste trasformazioni sono molto utili perché spesso, riordinando i termini, l'incognita diventa più facile da calcolare oppure i numeri si semplificano meglio. È bene ricordare però che queste proprietà non cambiano il valore della relazione: stiamo solo riscrivendo la stessa uguaglianza in modo diverso. Per imparare a usarle, conviene allenarsi a passare velocemente da una forma all'altra e verificare sempre che il prodotto dei medi rimanga uguale al prodotto degli estremi.

Primo esempio: dalla proporzione 5:10=7:14, invertendo ogni rapporto otteniamo 10:5=14:7, che è ancora una proporzione vera. Secondo esempio: dalla proporzione 3:12=5:20, permutando i medi otteniamo 3:5=12:20, ed è facile verificare che 3·20=60=5·12.

Proporzioni continue e medio proporzionale

Una proporzione si dice continua quando i due medi sono uguali tra loro, cioè quando ha la forma a:b=b:c: in questo caso il termine b prende il nome di medio proporzionale tra a e c. Trovare il medio proporzionale significa scoprire quel numero che, moltiplicato per sé stesso, dà come risultato il prodotto degli estremi, perché applicando la proprietà fondamentale otteniamo b·b=a·c, cioè b al quadrato uguale ad a·c. Per calcolare b dobbiamo quindi estrarre la radice quadrata del prodotto a·c, supponendo che il risultato sia un numero esatto o ragionevolmente approssimabile. Le proporzioni continue sono particolarmente interessanti perché compaiono in molti contesti geometrici, come nei problemi sui triangoli simili e nei calcoli legati al teorema di Pitagora. Anche il termine c, detto terzo proporzionale dopo a e b, si calcola facilmente con la proporzione: basta scrivere a:b=b:c e applicare ancora una volta la proprietà fondamentale per ricavarlo. Riconoscere quando un problema nasconde una proporzione continua è una competenza utile, perché spesso il testo non lo dice in modo esplicito.

Primo esempio: il medio proporzionale tra 4 e 25 si trova come radice quadrata di 4·25=100, quindi b=10 e la proporzione continua è 4:10=10:25. Secondo esempio: il terzo proporzionale dopo 3 e 6 si trova dalla proporzione 3:6=6:c, da cui 3·c=36 e quindi c=12.

Proporzioni e problemi quotidiani

Le proporzioni sono uno strumento potentissimo per risolvere problemi di ogni giorno, specialmente quando due grandezze sono proporzionali, cioè variano in modo legato tra loro. Tipico è il caso in cui, conoscendo il prezzo di una certa quantità di un prodotto, vogliamo calcolare il prezzo di una quantità diversa, oppure quando dobbiamo adattare le dosi di una ricetta a un numero diverso di persone. In questi casi impostiamo la proporzione confrontando coppie di valori coerenti, cioè scrivendo da una parte le quantità e dall'altra i prezzi, oppure le persone e gli ingredienti. È importante mantenere un ordine logico nei termini, altrimenti rischiamo di scrivere proporzioni sbagliate e di ottenere risultati senza senso.

1. Identifica le due grandezze coinvolte nel problema e i loro valori noti.
2. Imposta la proporzione mettendo grandezze omogenee nei rapporti corrispondenti.
3. Sostituisci i numeri e indica con x il valore che vuoi trovare.
4. Applica la proprietà fondamentale per calcolare x.
5. Verifica che il risultato sia coerente con la situazione descritta dal problema.

Primo esempio: se 3 quaderni costano 6 euro, quanto costano 8 quaderni? Impostiamo 3:6=8:x, da cui 3·x=48 e x=16 euro. Secondo esempio: in una ricetta servono 200 g di farina per 4 persone; per 10 persone scriviamo 4:200=10:x, da cui 4·x=2000 e x=500 g.

Proporzioni, percentuali e scale

Le proporzioni sono nascoste anche dietro due strumenti usatissimi: le percentuali e le scale dei disegni. Una percentuale, per esempio il 20%, è un rapporto di 20 a 100, e questo permette di scrivere immediatamente una proporzione del tipo "parte sta a totale come 20 sta a 100", utilissima per calcolare sconti, IVA, interessi e quote di popolazione. Le scale dei disegni, come quelle delle cartine geografiche o dei progetti di tecnologia, funzionano allo stesso modo: una scala 1:100 significa che ogni centimetro sul disegno corrisponde a 100 centimetri nella realtà. Anche in tecnologia, quando aggiungiamo le quote partendo dalle dimensioni principali, le proporzioni ci aiutano a controllare che le misure ridotte rispettino i rapporti reali. In questi casi può essere utile fissare le tolleranze, cioè i piccoli scarti ammessi rispetto ai valori teorici, ricordando che la precisione non sempre è esatta ma rientra in un intervallo accettabile. Saper passare con disinvoltura da percentuali a proporzioni e da scale a misure reali è una competenza preziosa, perché unisce matematica e mondo concreto.

Primo esempio: per calcolare lo sconto del 25% su un prezzo di 80 euro impostiamo 25:100=x:80, da cui 100·x=2000 e x=20 euro. Secondo esempio: su una mappa in scala 1:50000 due paesi distano 6 cm; la distanza reale si trova con 1:50000=6:x, da cui x=300000 cm, cioè 3 km.

Ricorda

• Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti, della forma a:b=c:d.
• I termini a e d si chiamano estremi, mentre b e c si chiamano medi.
• Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
• Per trovare un termine incognito basta applicare la proprietà fondamentale e dividere.
• Le proprietà dell'invertire e del permutare permettono di riscrivere la proporzione mantenendola vera.
• In una proporzione continua a:b=b:c, il termine b è il medio proporzionale e vale la radice quadrata di a·c.
• Le proporzioni sono utilissime per percentuali, scale, ricette e problemi di acquisto.

Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: in una pasticceria, per preparare 12 cornetti servono 300 g di burro. Imposta la proporzione corretta per calcolare quanti grammi di burro servono per preparare 20 cornetti, risolvila applicando la proprietà fondamentale e verifica il risultato controllando che il rapporto burro/cornetti resti lo stesso nelle due situazioni.