La similitudine è la trasformazione geometrica che ingrandisce o rimpicciolisce una figura mantenendo la sua forma. Due figure simili hanno gli stessi angoli e i lati proporzionali secondo un numero chiamato rapporto di similitudine.
Quando guardi una fotografia stampata in formato piccolo e poi la stessa immagine ingrandita su un cartellone, ti accorgi che la forma rimane identica ma le dimensioni cambiano. Questo fenomeno, così familiare nella vita quotidiana, è esattamente ciò che in geometria chiamiamo similitudine tra figure piane. Due poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati corrispondenti in proporzione tra loro. Il numero che esprime quante volte una figura è più grande o più piccola dell'altra prende il nome di rapporto di similitudine e si indica solitamente con la lettera k. Capire questa idea significa imparare a riconoscere quando due oggetti hanno la stessa forma, anche se occupano spazi diversi sul foglio o nella realtà. La similitudine è uno strumento potentissimo perché permette di calcolare misure inaccessibili partendo da misure note.
Figure simili e rapporto di similitudine
Due figure sono simili quando una è la copia ingrandita o rimpicciolita dell'altra, senza alcuna deformazione che alteri la forma originale. Per essere certi della similitudine devono valere contemporaneamente due condizioni precise che riguardano gli angoli e i lati. La prima condizione richiede che ogni angolo di una figura sia uguale all'angolo corrispondente dell'altra figura, perché gli angoli determinano l'inclinazione dei lati. La seconda condizione richiede che i lati corrispondenti, cioè quelli che si trovano nella stessa posizione, abbiano tutti lo stesso rapporto numerico. Se chiamiamo k il rapporto di similitudine, allora ogni lato della figura più grande è k volte il lato corrispondente della figura più piccola. Per esempio, se un rettangolo ha i lati di 3 cm e 5 cm, un rettangolo a esso simile con k uguale a 2 avrà i lati di 6 cm e 10 cm, mantenendo intatta la forma rettangolare.
I criteri di similitudine dei triangoli
I triangoli sono figure particolarmente comode perché esistono criteri semplici per stabilire se due triangoli sono simili senza dover controllare tutti gli elementi. Il primo criterio afferma che basta verificare l'uguaglianza di due angoli: se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono sicuramente simili. Il secondo criterio si basa sui lati e richiede che i tre lati di un triangolo siano proporzionali ai tre lati dell'altro, con lo stesso rapporto costante. Il terzo criterio mescola le due condizioni e chiede che due lati siano proporzionali e che l'angolo compreso tra essi sia uguale nei due triangoli. Una proprietà molto utile riguarda i perimetri e le aree: i perimetri di due figure simili stanno tra loro come il rapporto k, mentre le aree stanno tra loro come k al quadrato. Questa regola spiega perché raddoppiando i lati di un quadrato la sua area diventa quattro volte più grande, non semplicemente doppia.
Ricorda
- Due figure sono simili se hanno angoli congruenti e lati corrispondenti in proporzione secondo un rapporto k.
- Per i triangoli basta verificare uno dei tre criteri di similitudine, senza controllare tutti gli elementi della figura.
- I perimetri stanno come k, ma le aree stanno come k al quadrato: questo è essenziale per evitare errori di calcolo.
- Esercizio attivo sul quaderno: disegna un triangolo con lati di 4 cm, 6 cm e 8 cm; poi costruisci un triangolo a esso simile con rapporto k uguale a 1,5 e calcola il rapporto tra le aree dei due triangoli.