La similitudine è la relazione geometrica che lega due figure aventi la stessa forma ma dimensioni diverse: ingrandimenti e riduzioni della realtà, come una fotografia o una mappa, sono governati proprio da questa proprietà matematica.
Che cosa significa essere simili
Due figure si dicono simili quando una è l'ingrandimento oppure la riduzione dell'altra, mantenendo intatta la forma originale ma cambiando le dimensioni. Immagina di scattare una fotografia al tuo gatto e poi di stamparla in due formati diversi, uno piccolo per il portafoglio e uno grande da appendere in salotto. Le due stampe non sono uguali, perché hanno misure differenti, ma rappresentano perfettamente lo stesso animale con le stesse proporzioni. In matematica diciamo che le due immagini sono figure simili, e indichiamo questa relazione con il simbolo ∼ scritto fra i nomi delle figure. Un altro esempio quotidiano lo trovi nei modellini delle automobili che si vedono nei negozi di giocattoli: il modellino e l'auto vera sono simili perché hanno la stessa forma ma scale differenti.
Lati corrispondenti e angoli corrispondenti
Quando due figure sono simili esistono delle coppie precise di elementi che si rispondono fra loro, dette elementi corrispondenti od omologhi. Per i poligoni, ogni lato di una figura ha un suo lato gemello nell'altra figura, così come ogni angolo ha il suo angolo gemello, e tu li riconosci osservando la posizione che occupano. Pensa a due triangoli simili disegnati uno accanto all'altro: il lato più lungo del primo corrisponde al lato più lungo del secondo, e l'angolo più ampio del primo corrisponde all'angolo più ampio del secondo. Un esempio concreto è quello di due piastrelle triangolari della stessa serie ma di formati diversi: i bordi nelle stesse posizioni sono corrispondenti. Riconoscere bene questi elementi è fondamentale, perché su di essi si basano tutte le proprietà della similitudine.
Le due regole d'oro della similitudine
Perché due poligoni siano davvero simili devono valere contemporaneamente due condizioni che funzionano come una coppia inseparabile, e quando viene a mancare una sola di esse la similitudine crolla. La prima regola dice che gli angoli corrispondenti devono essere uguali, cioè devono avere la stessa ampiezza espressa in gradi. La seconda regola dice che i lati corrispondenti devono essere proporzionali, cioè il rapporto fra ogni coppia di lati omologhi deve restituire sempre lo stesso numero. Per esempio, un quadrato di lato 4 cm e un quadrato di lato 7 cm sono simili perché tutti gli angoli sono retti e tutti i lati stanno fra loro nello stesso rapporto. Al contrario, un quadrato e un rombo non quadrato hanno lati proporzionali ma angoli diversi, e quindi non sono figure simili.
Il rapporto di similitudine
Il numero che si ottiene dividendo la misura di un lato di una figura per la misura del suo lato corrispondente nell'altra figura si chiama rapporto di similitudine e si indica spesso con la lettera k. Se k è maggiore di 1, la prima figura è un ingrandimento della seconda; se k è minore di 1, la prima figura è una riduzione della seconda; se k vale esattamente 1, allora le due figure sono addirittura congruenti. Ad esempio, se un rettangolo ha base 12 cm e un altro rettangolo simile ha base 4 cm, il rapporto vale 12 : 4 = 3, dunque il primo rettangolo è il triplo del secondo. Lo stesso rapporto compare in cucina quando raddoppi le dosi di una ricetta per servire il doppio dei commensali: ogni ingrediente cresce con lo stesso fattore moltiplicativo. Calcolare k è il passo più importante per risolvere un problema di similitudine.
Il primo criterio di similitudine dei triangoli
Per stabilire se due triangoli sono simili non è necessario controllare tutte e sei le condizioni richieste in generale, perché esistono dei criteri rapidi che semplificano molto il lavoro. Il criterio più usato afferma che due triangoli sono simili quando hanno due angoli rispettivamente uguali, e di conseguenza anche il terzo coincide perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°. Questo criterio è prezioso nella vita di tutti i giorni: per misurare l'altezza di un albero, si infila un bastone verticale nel terreno e si osservano le ombre, formando due triangoli con angoli uguali e quindi simili. Un altro esempio è quello del proiettore che proietta sul muro un triangolo: il triangolo originale sulla pellicola e quello sul muro hanno gli stessi angoli, perciò sono simili. Bastano due angoli identici e la similitudine è garantita.
Calcolare lati mancanti con le proporzioni
Quando sappiamo che due figure sono simili e conosciamo alcune misure, possiamo trovare quelle che mancano impostando una proporzione fra lati corrispondenti. I passaggi da seguire sono questi:
- Riconosci i lati corrispondenti delle due figure simili.
- Scrivi la proporzione mettendo i lati noti come termini noti e il lato cercato come incognita x.
- Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per ricavare x.
- Controlla che il risultato abbia un senso reale rispetto al disegno.
Facciamo un esempio concreto: due triangoli simili hanno il lato AB = 6 cm e il lato corrispondente A'B' = 9 cm; se BC misura 8 cm, troviamo B'C' impostando 6 : 9 = 8 : x, da cui x = 12 cm. Lo stesso ragionamento si applica al disegno di una piantina della cameretta in cui sai che 1 cm sul foglio corrisponde a 50 cm nella realtà.
Perimetro, area e rapporti
Quando due figure sono simili con rapporto k, anche i loro perimetri e le loro aree hanno comportamenti regolari ma diversi, e questa differenza sorprende sempre gli studenti più distratti. Il rapporto fra i perimetri delle due figure simili è uguale al rapporto k fra i lati, perché il perimetro è una somma di lunghezze e ogni lunghezza si moltiplica per lo stesso fattore. Il rapporto fra le aree, invece, è uguale al quadrato di k, cioè k², perché l'area dipende dal prodotto di due lunghezze e quindi raddoppia il fattore di scala. Per esempio, se ingrandisci un quadrato di lato 2 cm fino a ottenere un lato di 6 cm, il rapporto k vale 3, il perimetro triplica ma l'area diventa 9 volte più grande. Questo fenomeno spiega perché una pizza grande il doppio di una piccola in diametro contiene in realtà il quadruplo di ingredienti.
Ricorda
I punti chiave da fissare nella memoria sono i seguenti, e ti torneranno utili in ogni problema sulla similitudine:
- Due figure sono simili quando hanno angoli corrispondenti uguali e lati corrispondenti proporzionali.
- Il rapporto di similitudine k è il numero che lega ogni coppia di lati omologhi.
- Per i triangoli basta avere due angoli uguali per essere sicuri della similitudine.
- I perimetri stanno fra loro come k, mentre le aree stanno fra loro come k².
- Si scrivono proporzioni fra lati corrispondenti per trovare le misure mancanti.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: disegna un rettangolo con base 5 cm e altezza 3 cm, poi disegna un secondo rettangolo simile al primo con rapporto k = 2. Scrivi le misure dei lati del nuovo rettangolo, calcola perimetro e area di entrambi e verifica che il rapporto dei perimetri sia 2 e quello delle aree sia 4.