Introduzione
Due figure sono simili quando hanno la stessa forma ma dimensioni diverse.
Nella vita di tutti i giorni vediamo spesso figure simili. Una fotografia ingrandita mantiene la stessa forma dell'originale. Una mappa rappresenta un territorio in scala ridotta. In matematica studiamo queste relazioni in modo preciso.
Quando due figure sono simili
Due figure piane sono simili se rispettano due condizioni precise. Gli angoli corrispondenti devono essere uguali tra loro. I lati corrispondenti devono essere proporzionali secondo un rapporto fisso. Questo rapporto si chiama rapporto di similitudine.
Indichiamo il rapporto di similitudine con la lettera k. Se k è maggiore di 1, la figura viene ingrandita. Se k è minore di 1, la figura viene rimpicciolita. Se k è uguale a 1, le figure sono congruenti.
Un esempio con i triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A'B'C' con angoli uguali. Il triangolo ABC ha lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Il triangolo A'B'C' ha lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm. Calcoliamo il rapporto tra i lati corrispondenti.
Per verificare la similitudine seguiamo questi passi:
- Dividiamo 6 diviso 3 e otteniamo 2.
- Dividiamo 8 diviso 4 e otteniamo 2.
- Dividiamo 10 diviso 5 e otteniamo 2.
- Tutti i rapporti sono uguali, quindi k vale 2.
I criteri di similitudine dei triangoli
Per i triangoli esistono tre criteri rapidi di similitudine. Il primo criterio richiede due angoli rispettivamente uguali. Il secondo criterio richiede un angolo uguale tra lati proporzionali. Il terzo criterio richiede i tre lati ordinatamente proporzionali.
Perimetri, aree e rapporti
Nelle figure simili anche perimetri e aree seguono regole precise. Il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto k dei lati. Il rapporto tra le aree, invece, è uguale a k al quadrato. Questa proprietà è molto utile nei problemi pratici.
Prendiamo due quadrati simili con rapporto k uguale a 3. Il perimetro del quadrato più grande è 3 volte quello piccolo. L'area del quadrato più grande è 9 volte quella piccola. Il numero 9 corrisponde infatti a 3 elevato al quadrato.
Conclusione
La similitudine collega geometria, proporzioni e calcolo numerico. Ci permette di confrontare figure di dimensioni molto diverse. Questo strumento è fondamentale in architettura, arte e cartografia. Capire la similitudine aiuta a ragionare su forme e scale.