La radice quadrata è l'operazione che, dato un numero, ci permette di scoprire quale altro numero, moltiplicato per se stesso, lo genera. È l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato e ci accompagnerà in moltissimi problemi di geometria.
Da dove nasce la radice quadrata
Quando moltiplichiamo un numero per se stesso, otteniamo il suo quadrato: per esempio 7 × 7 = 49 oppure 12 × 12 = 144. L'operazione inversa, cioè quella che ci permette di tornare indietro dal quadrato al numero di partenza, si chiama radice quadrata. In simboli scriviamo √49 = 7 e leggiamo "radice quadrata di quarantanove uguale sette". Il numero sotto il segno di radice si chiama radicando, mentre il risultato si chiama radice. Pensa a un quadrato di carta con area 81 cm²: per disegnarlo devi sapere quanto è lungo il suo lato, e la risposta te la dà proprio la radice quadrata, perché √81 = 9. In modo analogo, se conosci l'area di una piastrella quadrata che misura 100 cm², capisci subito che il suo lato è di 10 cm.
I quadrati perfetti, i nostri migliori amici
Un numero si dice quadrato perfetto quando è il risultato del quadrato di un numero intero: per esempio 25, 36, 49, 64 sono quadrati perfetti perché si ottengono da 5², 6², 7², 8². Conoscere a memoria i primi quindici quadrati perfetti è una scorciatoia preziosa, perché ti permette di calcolare moltissime radici senza fatica. I primi quadrati perfetti utili da ricordare sono 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Per esempio, se ti viene chiesto quanto vale √169, ricordando la tabellina mentale ottieni subito 13. Allo stesso modo, davanti a √196 puoi rispondere 14 con sicurezza, perché 14 × 14 fa proprio 196. Allenarsi su questi numeri è come imparare le tabelline: rende il calcolo veloce e sicuro.
Quando il radicando non è un quadrato perfetto
La maggior parte dei numeri che incontriamo nella vita reale non sono quadrati perfetti, e la loro radice quadrata produce un numero con infinite cifre decimali non periodiche. Pensa a √2: questo numero vale circa 1,4142… e i puntini significano che le cifre proseguono senza mai ripetersi né terminare. Questi numeri si chiamano irrazionali e non si possono scrivere come una semplice frazione. Nella pratica scolastica useremo le tavole numeriche oppure la calcolatrice per ottenere un valore approssimato a due o tre decimali. Per esempio √20 vale circa 4,47, mentre √50 vale circa 7,07: sono valori utilissimi per misurare e disegnare. Quando l'esercizio chiede l'approssimazione, è importante specificare a quante cifre decimali stiamo arrotondando, per non confondere il risultato.
La radice fra due interi consecutivi
Anche senza calcolatrice, possiamo capire fra quali numeri interi si trova una radice quadrata, e questa è una competenza molto richiesta. La regola è semplice: cerchiamo i due quadrati perfetti più vicini al nostro radicando, uno più piccolo e uno più grande, perché il numero che cerchiamo sarà compreso fra le loro radici. Per esempio, prendiamo √30: i quadrati perfetti vicini sono 25 e 36, quindi √30 si trova fra 5 e 6, perché 25 < 30 < 36. In modo analogo, √75 si trova fra 8 e 9, perché 64 < 75 < 81 e le radici di questi numeri sono 8 e 9. Possiamo anche capire a quale dei due interi la radice è più vicina osservando quale quadrato perfetto è più prossimo al radicando: 30 è più vicino a 25 che a 36, perciò √30 sarà più vicina a 5 che a 6. Questa abilità ti permette di stimare velocemente lunghezze e misure nei problemi.
Le proprietà delle radici
La radice quadrata possiede alcune proprietà utili che ci permettono di semplificare i calcoli. La proprietà del prodotto dice che la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici: √(a × b) = √a × √b. Per esempio, √36 può essere scritta come √(4 × 9), che diventa √4 × √9 = 2 × 3 = 6: il risultato coincide perfettamente. In modo simile, la radice di un quoziente è il quoziente delle radici, quindi √(100 ÷ 4) = √100 ÷ √4 = 10 ÷ 2 = 5. Una proprietà importantissima è quella che lega radice e quadrato: se prendi un numero positivo, lo elevi al quadrato e poi ne calcoli la radice, ottieni di nuovo il numero di partenza, cioè √(a²) = a. Per esempio √(7²) = √49 = 7, e questa proprietà sarà fondamentale quando applicherai il teorema di Pitagora.
Le tavole numeriche e l'uso della calcolatrice
Nelle tavole numeriche, che probabilmente trovi a fine libro, esiste una colonna dedicata alle radici quadrate già calcolate per i numeri interi da 1 a 1000 o più. Per usarle basta cercare il numero nella colonna n e leggere il valore corrispondente nella colonna √n, ottenendo così un'approssimazione con tre o quattro cifre decimali. Per esempio cercando 47 troverai √47 ≈ 6,856, un valore molto preciso e immediato. La calcolatrice offre lo stesso servizio in modo ancora più rapido grazie al tasto con il simbolo √: basta digitare il radicando e premere il tasto per leggere la risposta. È bene però abituarsi a stimare il risultato prima di leggerlo, così se per errore digiti il numero sbagliato te ne accorgi subito. Per esempio, se sai che √47 deve stare fra 6 e 7, e la calcolatrice mostra 21,7, capisci immediatamente che hai sbagliato a battere i tasti.
La radice quadrata nei problemi di geometria
La radice quadrata trova la sua applicazione più importante nei problemi di geometria, in particolare quando si lavora con i quadrati e con il teorema di Pitagora. Se un quadrato ha area 144 cm², per trovare il lato basta calcolare √144 = 12 cm, perché il lato di un quadrato è sempre la radice quadrata della sua area. Anche un giardiniere, vedendo un'aiuola quadrata di 64 m² di superficie, sa che il suo perimetro misura 4 × √64 = 32 m. Nei prossimi mesi userai la radice quadrata anche per calcolare l'ipotenusa o un cateto di un triangolo rettangolo, applicando la celebre formula di Pitagora. Per esempio, se i cateti misurano 3 cm e 4 cm, l'ipotenusa vale √(9 + 16) = √25 = 5 cm, un risultato pulito e immediato. Saper calcolare con sicurezza le radici quadrate è perciò una chiave che apre molte porte della matematica.
Ricorda
- La radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato: √a = b significa che b² = a.
- I quadrati perfetti più importanti vanno conosciuti a memoria, da 1 fino almeno a 225.
- Se il radicando non è un quadrato perfetto, la radice è un numero irrazionale e va approssimato.
- Per stimare una radice, individua i due quadrati perfetti vicini: la radice si trova fra le loro radici.
- Valgono le proprietà del prodotto, del quoziente e la regola √(a²) = a (con a positivo).
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: scrivi sul tuo quaderno fra quali due numeri interi consecutivi si trovano le radici √55, √90 e √130, motivando ogni risposta con i quadrati perfetti vicini; poi calcola con la calcolatrice il valore approssimato a due decimali e confronta con la tua stima.