Che cosa sono i numeri razionali
I numeri razionali sono tutti i numeri che possono essere scritti come frazione tra due interi, con denominatore diverso da zero.
L'insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo Q e comprende tutti i numeri che si possono esprimere nella forma a/b, dove a e b sono numeri interi e b non è uguale a zero. Questo significa che dentro Q troviamo le frazioni positive e negative, ma anche i numeri interi stessi, perché ogni intero può essere riscritto come frazione con denominatore uno. Persino lo zero appartiene a Q, dato che si può scrivere come 0/5 oppure 0/12. Una stessa quantità razionale può essere rappresentata da infinite frazioni equivalenti, che si ottengono moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero. Per esempio 2/3, 4/6 e 10/15 indicano lo stesso punto sulla retta dei numeri, ma soltanto 2/3 è scritta in forma ridotta ai minimi termini. Ogni numero razionale ammette anche una scrittura decimale, che può essere finita oppure periodica, mai illimitata e non periodica come invece accade per i numeri irrazionali.
Operare con i numeri razionali
Per confrontare due frazioni con segno bisogna prima ricordare che i numeri negativi sono sempre minori dei positivi e che, tra due negativi, è più grande quello più vicino allo zero. Quando i denominatori sono diversi, si riducono le frazioni allo stesso denominatore comune, di solito il minimo comune multiplo, e poi si confrontano i numeratori. Per addizioni e sottrazioni si segue lo stesso procedimento di riduzione, ricordando che il segno del risultato dipende dai segni degli addendi secondo le regole già viste con i numeri interi. La moltiplicazione tra razionali è più rapida, perché basta moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore, semplificando in diagonale quando possibile per evitare calcoli inutili. La divisione si trasforma in moltiplicazione per il reciproco del divisore, ottenuto scambiando numeratore e denominatore della seconda frazione. Anche la potenza segue regole semplici, perché l'esponente si applica sia al numeratore sia al denominatore, mentre il segno della base determina il segno del risultato in base alla parità dell'esponente.
Un esempio chiarisce il procedimento: per calcolare (−3/4) + (5/6) si trova il denominatore comune, che è 12, e si riscrivono le frazioni come −9/12 e 10/12, ottenendo la somma 1/12, già ridotta ai minimi termini.
Ricorda
- Un numero razionale è una frazione a/b con a e b interi e b diverso da zero; la sua scrittura decimale è finita oppure periodica.
- Per addizionare o sottrarre frazioni serve un denominatore comune, mentre per moltiplicare si procede direttamente e per dividere si moltiplica per il reciproco.
- Verifica attiva sul quaderno: calcola (−2/5) − (3/10) · (5/9), riduci il risultato ai minimi termini e poi trasformalo in numero decimale; controlla che il segno finale rispetti le regole studiate.