I numeri razionali sono tutti quei numeri che si possono scrivere come frazione di due interi, e ci permettono di misurare con precisione grandezze che i numeri interi non riescono a esprimere.
Dai numeri interi ai numeri razionali
Fino alla prima media hai lavorato soprattutto con i numeri naturali e con i numeri interi relativi, utili per contare oggetti, persone, anni o gradi sotto lo zero. Tuttavia, nella vita quotidiana ti capita spesso di dover esprimere quantità che non sono numeri interi, come mezzo litro di latte o tre quarti d'ora. In questi casi entrano in gioco i numeri razionali, ovvero tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione tra due numeri interi, con il denominatore diverso da zero. L'insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo Q e contiene al suo interno sia i numeri interi sia tutte le frazioni positive e negative. Un esempio quotidiano è la ricetta della pizza, che chiede 1/2 cubetto di lievito: quel numero non è intero ma è perfettamente razionale. Allo stesso modo, se misuri la tua altezza e ottieni 1,58 metri, stai usando un numero razionale, perché 1,58 equivale alla frazione 158/100.
Frazioni equivalenti e forma ridotta
Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa quantità, pur essendo scritte con numeratore e denominatore diversi: per esempio 2/4 e 1/2 indicano entrambe metà di un'unità. Per ottenere frazioni equivalenti basta moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero, una proprietà chiamata invariantiva. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il massimo comun divisore tra numeratore e denominatore è 1, cioè quando non si può più semplificare. Per esempio, partendo da 18/24 puoi dividere entrambi i termini per 6 e ottenere 3/4, che è la forma ridotta. Pensa alla pizza tagliata in otto fette: se ne mangi 4, puoi dire di averne mangiata 4/8 oppure, semplificando, 1/2. Allo stesso modo, se in classe siete 24 alunni e 18 hanno gli occhi castani, la frazione 18/24 si riduce a 3/4, che è molto più immediata da leggere e da confrontare.
Numeri razionali positivi e negativi
Quando ai numeri razionali aggiungiamo il segno, otteniamo l'insieme completo Q, che comprende sia i razionali positivi sia quelli negativi. Una frazione negativa come −3/5 si può scrivere indifferentemente come −3/5, 3/−5 oppure −(3/5), perché il segno meno può essere posto davanti, al numeratore o al denominatore. Sulla retta orientata i razionali negativi si collocano a sinistra dello zero, mentre quelli positivi si trovano a destra, esattamente come accade con gli interi relativi. Per esempio, se la temperatura scende di mezzo grado al di sotto dello zero, puoi rappresentarla come −1/2 °C o, in forma decimale, −0,5 °C. Un altro esempio è quello del conto in banca: un debito di tre quarti di euro si scrive come −3/4 €, e indica una somma che manca rispetto allo zero. Anche per i razionali valgono le stesse regole dei segni che hai imparato con i numeri interi relativi.
Confronto tra numeri razionali
Confrontare due numeri razionali significa stabilire quale dei due rappresenti la quantità maggiore, e per farlo conviene ridurli sempre allo stesso denominatore. Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore più grande; se hanno lo stesso numeratore, invece, è maggiore quella con il denominatore più piccolo, perché le parti in cui si divide l'intero sono più grandi. Quando le frazioni hanno denominatori diversi, si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori e si trasformano entrambe nella forma equivalente con quel denominatore. Per esempio, per confrontare 2/3 e 3/5, riduci al denominatore comune 15 ottenendo 10/15 e 9/15, dunque 2/3 è maggiore. Anche immaginare una situazione concreta aiuta moltissimo: se uno spuntino è diviso in tre parti e ne mangi due, hai mangiato più che dividendolo in cinque parti e mangiandone tre. Per i numeri razionali negativi ricorda invece che, fra due numeri negativi, è maggiore quello più vicino allo zero.
Operazioni con i numeri razionali
Le quattro operazioni fondamentali con i numeri razionali seguono le stesse regole studiate per le frazioni, integrate con la regola dei segni dei numeri relativi. Per addizione e sottrazione si riducono le frazioni allo stesso denominatore e poi si sommano o sottraggono i numeratori, mantenendo il denominatore comune. Per la moltiplicazione si moltiplicano fra loro i numeratori e fra loro i denominatori, semplificando in croce quando è possibile per velocizzare i calcoli. Per la divisione, invece, si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda, ricordando che il reciproco si ottiene scambiando numeratore e denominatore. Per esempio, calcolare 1/2 + 1/3 significa portare entrambe al denominatore 6, ottenendo 3/6 + 2/6 = 5/6, come se sommassi mezza torta e un terzo della stessa torta. Un altro esempio è il calcolo di 2/3 di 9 €: moltiplichi 2/3 per 9 e ottieni 6 €, come quando in negozio applicano uno sconto frazionario su un prezzo.
Dalla frazione al numero decimale
Ogni numero razionale può essere espresso in forma decimale, semplicemente eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. Si ottengono allora numeri decimali finiti, come 3/4 = 0,75, oppure numeri decimali illimitati periodici, come 1/3 = 0,333… che si scrive 0,(3) indicando con la parentesi la cifra che si ripete all'infinito. Un numero decimale è finito quando, ridotta la frazione ai minimi termini, il denominatore contiene soltanto i fattori 2 e 5; in tutti gli altri casi il decimale è periodico. Per esempio 7/8 dà 0,875, che è finito perché 8 è uguale a 2 elevato alla terza; invece 2/11 dà 0,1818… che è periodico misto e si scrive 0,(18). Anche al contrario puoi trasformare un decimale finito in frazione mettendo al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore una potenza di 10, come 0,24 = 24/100 = 6/25. Questa corrispondenza ti mostra che frazioni e decimali sono due modi diversi per rappresentare la stessa identica realtà numerica.
Razionali sulla retta e densità
I numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata, dividendo ogni unità in tante parti uguali quanto indica il denominatore e contando poi un numero di parti pari al numeratore. Per disegnare 5/4, ad esempio, dividi il segmento unitario in quattro parti uguali e ne conti cinque, superando l'unità di un quarto. Una proprietà sorprendente dei razionali è la loro densità: fra due numeri razionali, per quanto vicini, esiste sempre un altro razionale, anzi infiniti razionali. Per esempio fra 1/2 e 1/3 trovi sempre 5/12, che è la loro media aritmetica, e fra 5/12 e 1/2 puoi inserire altri infiniti razionali ripetendo il procedimento. Pensa a quando tagli a metà una fettina di torta già piccola: puoi continuare a dimezzare all'infinito, ottenendo pezzi sempre più piccoli ma mai nulli. Questa proprietà rende Q molto più ricco dell'insieme dei numeri interi, dove fra due interi consecutivi non c'è alcun altro intero.
Ricorda
I numeri razionali sono tutti i numeri che si possono scrivere come frazione di due interi con denominatore diverso da zero, e formano l'insieme Q. Ogni razionale ha infinite frazioni equivalenti ma una sola forma ridotta ai minimi termini, ottenuta dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD. Per confrontarli si riducono allo stesso denominatore, e per sommarli o sottrarli si segue lo stesso procedimento, mentre per moltiplicare e dividere si lavora direttamente con i numeratori e i denominatori. Ogni razionale può essere scritto come numero decimale finito o periodico, e viceversa ogni decimale finito o periodico corrisponde a un numero razionale. Infine, l'insieme dei razionali è denso, perché tra due qualsiasi razionali se ne possono sempre trovare infiniti altri.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: scrivi la frazione 36/48 nella sua forma ridotta ai minimi termini, trasformala poi in numero decimale e infine rappresentala su una retta orientata in cui l'unità misura 8 quadretti. Confronta il risultato con la frazione 5/8 stabilendo quale delle due è maggiore e di quanto, spiegando ogni passaggio con parole tue.