Cosa sono i numeri razionali
I numeri razionali sono numeri che si possono scrivere come frazione tra due interi.
L'insieme dei numeri razionali si indica con la lettera Q. Ogni numero razionale si scrive nella forma a/b. Il numero a si chiama numeratore e b si chiama denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da zero.
Frazioni e numeri decimali
Ogni frazione corrisponde a un numero decimale preciso. Per ottenerlo, si divide il numeratore per il denominatore. Ad esempio, 3/4 diventa 0,75 eseguendo la divisione. Anche 1/2 si trasforma facilmente nel decimale 0,5.
Alcune frazioni danno numeri decimali limitati, come 1/5 = 0,2. Altre frazioni producono decimali periodici, come 1/3 = 0,333... In ogni caso, il risultato resta un numero razionale. Anche gli interi appartengono a Q, perché 5 = 5/1.
Frazioni equivalenti
Due frazioni sono equivalenti quando rappresentano lo stesso valore. Si ottengono moltiplicando o dividendo entrambi i termini per uno stesso numero. Ad esempio, 1/2 equivale a 2/4 e a 3/6. Queste frazioni indicano la stessa quantità, ma scritta diversamente.
La frazione si dice ridotta ai minimi termini quando non si può semplificare. Per ridurla, si divide numeratore e denominatore per il loro M.C.D. Ad esempio, 8/12 diventa 2/3 dividendo per 4. Lavorare con frazioni ridotte rende i calcoli più semplici.
Operazioni con i numeri razionali
Con i razionali si possono fare addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni. Per sommare frazioni con denominatori diversi, serve il denominatore comune. Per moltiplicare, si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro. Per dividere, si moltiplica la prima frazione per la reciproca della seconda.
Ecco i passi per sommare 1/4 + 2/3:
- Trova il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè 12.
- Trasforma le frazioni: 1/4 = 3/12 e 2/3 = 8/12.
- Somma i numeratori mantenendo il denominatore: 3/12 + 8/12 = 11/12.
Numeri razionali sulla retta
I numeri razionali si possono rappresentare sulla retta numerica orientata. Ogni frazione occupa una posizione precisa tra due numeri interi. Per collocare 3/4, si divide il segmento da 0 a 1 in quattro parti. Poi si contano tre parti partendo dall'origine.
Esistono anche i razionali negativi, posti a sinistra dello zero. Ad esempio, -1/2 si trova a metà strada tra -1 e 0. Tra due razionali qualsiasi esiste sempre un altro razionale. Questa proprietà si chiama densità dell'insieme Q.