I numeri naturali nascondono relazioni interessanti quando li mettiamo a confronto. Due o più numeri condividono spesso divisori e multipli, e imparare a riconoscerli ci permette di lavorare con maggiore agilità su frazioni, problemi e calcoli quotidiani.
Il Massimo Comune Divisore (MCD)
Il MCD di due o più numeri è il più grande tra i divisori che essi hanno in comune. Per calcolarlo possiamo usare diversi metodi: l'elenco dei divisori oppure la scomposizione in fattori primi. La scomposizione è la strada più rapida e affidabile, soprattutto quando i numeri diventano grandi e l'elenco dei divisori richiederebbe troppo tempo. Si applica una regola precisa che vale sempre, in qualunque situazione.
- Scomponi ciascun numero in fattori primi.
- Prendi solo i fattori comuni a tutti i numeri.
- Per ogni fattore comune scegli l'esponente più piccolo.
- Moltiplica i fattori scelti: ottieni il MCD.
Esempio guidato: per trovare MCD(24, 36) scomponiamo 24 = 2³·3 e 36 = 2²·3². I fattori comuni sono 2 e 3; prendendo gli esponenti più piccoli otteniamo 2²·3 = 12. Quindi MCD(24, 36) = 12, e infatti 12 divide sia 24 sia 36, mentre nessun numero più grande di 12 possiede la stessa proprietà.
Quando due numeri hanno MCD uguale a 1 si dicono coprimi: non condividono alcun divisore oltre l'unità, come accade per 8 e 15 oppure per 9 e 20.
Il minimo comune multiplo (mcm)
Il mcm di due o più numeri è il più piccolo tra i multipli comuni che essi possiedono, escludendo lo zero. Anche in questo caso la scomposizione in fattori primi è la strada maestra, perché evita di scrivere lunghi elenchi di multipli e funziona con qualunque coppia di numeri.
- Scomponi ciascun numero in fattori primi.
- Prendi tutti i fattori, sia quelli comuni sia quelli non comuni.
- Per ogni fattore scegli l'esponente più grande.
- Moltiplica i fattori scelti: ottieni il mcm.
Riprendendo i numeri 24 e 36, i fattori in gioco sono 2 e 3 con esponenti maggiori rispettivamente 2³ e 3². Otteniamo mcm(24, 36) = 2³·3² = 72: è il numero più piccolo che compare contemporaneamente nelle tabelline di 24 e di 36.
Vale una proprietà molto utile: il prodotto del MCD per il mcm di due numeri è uguale al prodotto dei due numeri, cioè MCD(a,b) · mcm(a,b) = a·b. Possiamo usarla come controllo per verificare i risultati senza ripetere tutta la procedura.
Ricorda
- Il MCD usa solo i fattori comuni con l'esponente minimo; il mcm usa tutti i fattori, comuni e non, con l'esponente massimo.
- Se MCD(a,b) = 1 i due numeri sono coprimi e il loro mcm coincide con il prodotto a·b.
- Vale sempre la relazione MCD(a,b) · mcm(a,b) = a·b: è un ottimo strumento di verifica.
Esercizio attivo sul quaderno: scomponi 18 e 30 in fattori primi, calcola MCD e mcm e infine controlla che il loro prodotto sia uguale a 18·30.