Introduzione
Il MCD e il mcm sono due numeri speciali calcolati a partire da due o più numeri interi.
In matematica spesso confrontiamo i divisori dei numeri. Altre volte ci servono i loro multipli comuni. Da qui nascono il MCD e il mcm. Sono strumenti utili per semplificare e per risolvere problemi.
Cosa significa MCD
La sigla MCD indica il Massimo Comun Divisore. È il più grande numero che divide esattamente due o più numeri dati. Un numero divide esattamente un altro quando il resto è zero. Il MCD esiste sempre ed è almeno uguale a 1.
Proviamo con un esempio semplice. Consideriamo i numeri 12 e 18. I divisori comuni di 12 e 18 sono 1, 2, 3 e 6. Il più grande tra questi è 6, quindi MCD(12, 18) = 6.
Cosa significa mcm
La sigla mcm indica il minimo comune multiplo. È il più piccolo numero, diverso da zero, multiplo di due o più numeri. I multipli di un numero si ottengono moltiplicandolo per 1, 2, 3 e così via. Il mcm permette di mettere insieme grandezze diverse.
Vediamo un esempio con i numeri 4 e 6. I multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16, 20, 24. I multipli di 6 sono 6, 12, 18, 24, 30. Il più piccolo multiplo comune è 12, quindi mcm(4, 6) = 12.
Calcolo con la scomposizione
Un metodo sicuro usa la scomposizione in fattori primi. Ogni numero si scrive come prodotto di numeri primi. Poi si confrontano i fattori per ottenere MCD e mcm. Questo procedimento funziona anche con numeri grandi.
Ecco i passi da seguire ordinatamente.
- Scomponi ogni numero in fattori primi.
- Per il MCD, prendi i fattori comuni con esponente minore.
- Per il mcm, prendi tutti i fattori, comuni e non, con esponente maggiore.
- Moltiplica i fattori scelti e ottieni il risultato.
Un esempio completo
Applichiamo il metodo ai numeri 12 e 18 insieme. La scomposizione di 12 è 2 × 2 × 3, cioè $2^2 \times 3$. La scomposizione di 18 è 2 × 3 × 3, cioè $2 \times 3^2$. Ora confrontiamo con attenzione i due risultati.
Per il MCD prendiamo i fattori comuni con esponente più piccolo. Otteniamo $2 \times 3 = 6$, quindi MCD(12, 18) = 6. Per il mcm prendiamo tutti i fattori con esponente più grande. Otteniamo $2^2 \times 3^2 = 36$, quindi mcm(12, 18) = 36.
A cosa servono
Il MCD è molto utile per ridurre le frazioni ai minimi termini. Nella frazione $\frac{12}{18}$ dividiamo numeratore e denominatore per 6. Otteniamo così la frazione equivalente $\frac{2}{3}$. La frazione è ora nella sua forma più semplice.
Il mcm serve invece per sommare frazioni con denominatori diversi. Aiuta anche a risolvere problemi con eventi che si ripetono nel tempo. Ad esempio due autobus che partono insieme da una fermata. Con MCD e mcm la matematica diventa più ordinata.