Una frazione è un modo per descrivere una parte di qualcosa di intero, oppure una parte di un gruppo, usando due numeri scritti uno sopra l'altro separati da una linea.
Da dove nascono le frazioni
Le frazioni nascono da un'esigenza molto antica: dividere qualcosa in parti uguali quando un solo numero intero non basta più a descrivere la quantità. Pensa a quando tua madre taglia una pizza per quattro persone: nessuno riceve una pizza intera, ma ognuno riceve un pezzo ben preciso che possiamo descrivere con precisione matematica. Senza le frazioni saremmo costretti a dire frasi vaghe come «un pezzettino» o «più o meno la metà», mentre la matematica ci permette di essere esatti. Già gli antichi Egizi, oltre quattromila anni fa, usavano le frazioni per misurare i campi dopo le inondazioni del Nilo e per distribuire equamente il pane e la birra agli operai. Le frazioni servono dunque ogni volta che dobbiamo spezzare un intero in parti uguali e contare quante di quelle parti stiamo prendendo. Possiamo trovarle in cucina, in falegnameria, nello sport, in musica e perfino quando guardiamo l'orologio: mezz'ora, un quarto d'ora, tre quarti d'ora sono frazioni dell'ora.
Come è fatta una frazione
Ogni frazione è composta da tre elementi che lavorano insieme: il numero in alto, la linea orizzontale e il numero in basso. Il numero in alto si chiama numeratore e ci dice quante parti stiamo considerando in quel momento, cioè quante ne abbiamo prese o colorate. Il numero in basso si chiama denominatore e ci dice in quante parti uguali abbiamo diviso l'intero di partenza, fissando così la dimensione di ciascuna parte. La linea che li separa si chiama linea di frazione e si legge come la parola «su», quindi 3/5 si legge «tre quinti» oppure «tre su cinque». Per esempio, se hai una tavoletta di cioccolato divisa in 8 quadretti uguali e ne mangi 3, hai mangiato 3/8 della tavoletta: il denominatore 8 ricorda la divisione iniziale, mentre il numeratore 3 conta i pezzi consumati. Allo stesso modo, se in una classe di 25 alunni 12 hanno gli occhi castani, possiamo dire che 12/25 della classe ha gli occhi castani.
Il significato del denominatore: i nomi delle parti
Il denominatore non è solo un numero qualsiasi: esso battezza la frazione e ne stabilisce il nome speciale. Quando dividiamo un intero in 2 parti uguali, ogni parte si chiama un mezzo; in 3 parti uguali, ogni parte è un terzo; in 4 parti uguali, ogni parte è un quarto; in 5 parti uguali, ogni parte è un quinto, e così via fino a un decimo, un centesimo, un millesimo. È molto importante ricordare che le parti devono essere tutte rigorosamente uguali fra loro, altrimenti non possiamo parlare di frazione: se tagli una mela in due pezzi, ma uno è grande e uno piccolo, non hai due mezzi. Per esempio, se una torta è divisa in 6 fette identiche e ne mangi una sola, hai mangiato 1/6 della torta, cioè un sesto. Un secondo esempio quotidiano: un'ora dura 60 minuti, quindi 15 minuti rappresentano 15/60 dell'ora, ovvero un quarto d'ora, perché 60 minuti diviso 4 fa proprio 15.
L'unità frazionaria e le frazioni come somme
Quando il numeratore vale 1, la frazione si chiama unità frazionaria e rappresenta una sola delle parti in cui è stato suddiviso l'intero. Le unità frazionarie sono come i mattoncini di base con cui si costruiscono tutte le altre frazioni: ogni frazione, infatti, può essere vista come la somma di tante unità frazionarie uguali fra loro. Per esempio, 3/7 è la stessa cosa di 1/7 + 1/7 + 1/7, perché stiamo prendendo tre volte la parte chiamata «un settimo». Pensa a una confezione di 10 ovetti di cioccolato: ogni ovetto rappresenta 1/10 della confezione, e se ne mangi 4 hai mangiato 1/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10, cioè 4/10 della confezione. Questo modo di vedere le frazioni è utilissimo perché ci aiuta a capire perché, quando sommiamo frazioni con lo stesso denominatore, basta sommare i numeratori e tenere fermo il denominatore. Allo stesso modo, una bottiglia da un litro divisa in 4 bicchieri uguali da 1/4 di litro ciascuno mostra che 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 ricostruisce esattamente l'intero litro.
Quando la frazione vale esattamente un intero
C'è un caso davvero speciale che merita attenzione: quando il numeratore è uguale al denominatore, la frazione corrisponde sempre a un intero, cioè vale 1. Il motivo è semplice e intuitivo: se hai diviso una pizza in 8 fette e ne prendi tutte e 8, hai preso l'intera pizza, e infatti 8/8 = 1. Allo stesso modo, 5/5, 12/12 e 100/100 valgono tutti esattamente 1, perché stiamo prendendo tutte le parti in cui era stato suddiviso l'intero. Possiamo immaginare la frazione come una divisione mascherata: 8 diviso 8 fa 1, 5 diviso 5 fa 1, e così via per qualunque numero diverso da zero. Un altro esempio quotidiano: se la maestra ha portato 24 caramelle e le distribuisce equamente in 24 sacchetti identici, ogni sacchetto contiene 1/24 del totale; quando rimetti insieme tutti i 24 sacchetti, hai 24/24, cioè di nuovo l'intero pacchetto di caramelle. Ricordare questa regola è importante perché ci aiuta a distinguere quando una frazione rappresenta meno di un intero, esattamente un intero, oppure più di un intero.
Frazioni proprie, improprie e apparenti
Le frazioni si possono classificare in tre famiglie a seconda del rapporto fra numeratore e denominatore. Una frazione si dice propria quando il numeratore è più piccolo del denominatore: in questo caso la frazione rappresenta una quantità minore di un intero, come 2/5, 3/8 o 7/10. Una frazione si dice impropria quando il numeratore è più grande del denominatore: in questo caso la frazione rappresenta una quantità maggiore di un intero, come 7/4 o 11/5, perché abbiamo preso più parti di quante ne servano per ricostruire un intero. Infine, una frazione si dice apparente quando il numeratore è uguale al denominatore oppure è un suo multiplo (per esempio 4/4, 8/4, 12/4): queste frazioni nascondono un numero intero, perché 4/4 vale 1, 8/4 vale 2 e 12/4 vale 3. Per esempio, se mangi 5/4 di pizza significa che hai mangiato una pizza intera più un quarto di un'altra pizza. Se invece compri 6/3 di chilo di mele, stai comprando 2 chili tondi, perché 6 diviso 3 fa esattamente 2.
La frazione di una quantità
Una delle competenze più importanti consiste nel calcolare la frazione di un numero o di una quantità, perché ci permette di usare le frazioni in situazioni concrete della vita quotidiana. Per farlo si procede in tre passi: si divide il numero per il denominatore, poi si moltiplica il risultato per il numeratore e si scrive l'unità di misura accanto. Ecco i passi nel dettaglio:
- Dividi la quantità di partenza per il denominatore della frazione, così trovi il valore di una sola parte (cioè di un'unità frazionaria).
- Moltiplica il risultato ottenuto per il numeratore, per sapere quanto valgono insieme tutte le parti che stai considerando.
- Scrivi accanto al risultato l'unità di misura corretta (euro, metri, alunni, minuti) per dare senso al numero ottenuto.
Per esempio, calcoliamo 3/4 di 20 euro: dividiamo 20 per 4 e otteniamo 5 euro (cioè 1/4 di 20), poi moltiplichiamo 5 per 3 e otteniamo 15 euro. Un altro esempio: in una classe di 24 alunni, 2/3 partecipa alla gita; dividiamo 24 per 3 e troviamo 8 alunni (cioè 1/3 della classe), poi moltiplichiamo 8 per 2 e troviamo 16 alunni che andranno in gita.
Confrontare e rappresentare le frazioni
Per confrontare due frazioni e capire quale sia la più grande esistono regole semplici che dipendono dai numeri coinvolti. Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore più grande, perché stiamo prendendo più parti dello stesso tipo: ad esempio 5/9 è maggiore di 2/9, come prendere 5 fettine di torta invece di 2 fettine uguali. Se invece due frazioni hanno lo stesso numeratore ma denominatori diversi, è maggiore quella con il denominatore più piccolo, perché le parti sono più grandi quando l'intero viene diviso in meno pezzi: 1/3 è maggiore di 1/8, esattamente come una fetta di torta divisa fra 3 amici è più abbondante di una fetta divisa fra 8 amici. Possiamo rappresentare le frazioni con disegni di torte, rettangoli, segmenti e perfino sulla retta numerica, dove ogni frazione trova il suo posto preciso fra i numeri interi. Per esempio, 1/2 sta esattamente a metà strada fra 0 e 1 sulla retta, mentre 3/2 si trova a metà strada fra 1 e 2, perché vale un intero più un mezzo.
Ricorda
- Una frazione descrive una o più parti uguali di un intero o di una quantità.
- Il numeratore (in alto) conta le parti prese; il denominatore (in basso) dice in quante parti uguali è stato diviso l'intero.
- Quando numeratore e denominatore sono uguali, la frazione vale esattamente 1 intero (per esempio 7/7 = 1).
- L'unità frazionaria ha numeratore 1 e ogni altra frazione è una somma di unità frazionarie uguali.
- Le frazioni sono proprie (minori di 1), apparenti (uguali a un intero) o improprie (maggiori di 1).
- Per calcolare la frazione di una quantità: dividi per il denominatore, poi moltiplica per il numeratore.
Esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: disegna un rettangolo lungo 12 quadretti e altezza 2 quadretti; dividilo in 6 parti uguali e colora 4 parti di rosso. Scrivi accanto la frazione colorata, di' se è propria, impropria o apparente, e calcola quanti quadretti hai colorato in totale ricordando che ogni parte vale 1/6 del rettangolo. Infine, rispondi: se avessi colorato tutte e 6 le parti, quale frazione avresti ottenuto e a quale numero intero corrisponderebbe?