Gli angoli sono ovunque: nelle lancette dell'orologio, nelle pieghe di un foglio, agli incroci delle strade. Imparare a riconoscerli, misurarli e classificarli ti permette di leggere la geometria del mondo che ti circonda.
Che cos'è un angolo
Un angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette si chiamano lati dell'angolo, mentre il punto di origine comune si chiama vertice. Possiamo immaginare un angolo come l'apertura tra due bracci di un compasso oppure tra le pagine di un libro che apriamo lentamente. Più allarghiamo le semirette, più l'angolo diventa ampio; più le avviciniamo, più si rimpicciolisce. È importante capire che l'ampiezza dell'angolo non dipende dalla lunghezza dei suoi lati: anche se prolunghiamo le semirette all'infinito, l'apertura rimane sempre la stessa. Un esempio concreto è la lancetta dei minuti di un orologio: quando si sposta dalle 12 alle 3, descrive un angolo, e la sua ampiezza non cambia se la lancetta è lunga o corta.
Vertice, lati e notazione
Per indicare un angolo nei disegni e nei problemi useremo una notazione precisa che ti accompagnerà per tutta la scuola. Si usano tre lettere maiuscole con un piccolo accento circonflesso sopra quella centrale, che indica sempre il vertice: per esempio l'angolo AÔB ha il vertice in O e i lati che passano per A e per B. In alternativa possiamo usare una sola lettera greca minuscola, come α, β, γ, δ, scritta dentro l'apertura dell'angolo. Quando disegni un angolo sul quaderno, ricordati di tracciare un piccolo archetto vicino al vertice, perché serve a chiarire di quale apertura stiamo parlando. Pensa al ventaglio aperto: il punto in cui si uniscono le stecche è il vertice, le stecche esterne sono i lati e l'archetto è la stoffa visibile fra di esse. Un secondo esempio è una porta socchiusa: il cardine è il vertice, lo stipite e il bordo del battente sono i lati.
L'unità di misura: il grado
L'ampiezza di un angolo si misura in gradi e il simbolo che useremo sempre è il piccolo cerchietto in alto a destra del numero. Per costruire questa unità, gli antichi babilonesi divisero l'intero giro in 360 parti uguali, e ognuna di quelle parti è il grado che usiamo ancora oggi. Il numero 360 fu scelto perché è divisibile per moltissimi numeri interi, quindi rende facili i calcoli con metà, terzi, quarti e sesti di angolo giro. Per misure più fini, il grado si suddivide in 60 primi, ognuno indicato con un apice, e ogni primo in 60 secondi, indicati con un doppio apice: questo sistema è chiamato sessagesimale, proprio come quello delle ore, dei minuti e dei secondi del tempo. Se un problema ti chiede di scrivere 47 gradi, 25 primi e 12 secondi, lo indicherai così: 47° 25' 12". Pensa alla bussola degli esploratori, che riporta tutti i 360 gradi attorno al cerchio, oppure ai gradi di latitudine che descrivono la posizione di una città sul mappamondo.
Come si usa il goniometro
Lo strumento che ti permette di misurare e disegnare gli angoli si chiama goniometro, e di solito ha la forma di un semicerchio numerato da 0° a 180°. Per misurare correttamente un angolo già disegnato segui questi passi precisi:
- Appoggia il centro del goniometro esattamente sopra il vertice dell'angolo, facendo coincidere il puntino di riferimento con il punto comune dei due lati.
- Ruota lo strumento finché uno dei due lati dell'angolo non passa esattamente sopra lo zero della scala graduata.
- Leggi il numero che corrisponde al punto in cui l'altro lato incontra il bordo curvo del goniometro, scegliendo la scala che parte dallo stesso zero.
Per disegnare un angolo di ampiezza data, invece, traccia prima una semiretta che farà da primo lato, appoggia il centro del goniometro sul suo estremo, segna con un puntino il valore richiesto sulla scala e infine unisci il vertice con quel puntino. Un esempio utile è disegnare l'angolo di 60 gradi necessario per costruire un triangolo equilatero a mano libera. Un altro esempio quotidiano è verificare l'ampiezza dello schienale di una sedia reclinabile per controllare se è davvero inclinato come dichiara il produttore.
Classificazione degli angoli
Gli angoli si distinguono in famiglie a seconda della loro ampiezza, e conoscere queste categorie ti aiuta a descriverli con precisione. Un angolo si dice acuto quando misura meno di 90°, retto quando misura esattamente 90°, ottuso quando è compreso fra 90° e 180°, piatto quando misura esattamente 180° e giro quando misura 360°. Esiste poi l'angolo nullo, che ha ampiezza 0° perché i due lati coincidono, e l'angolo concavo, che è più grande di un angolo piatto ma minore di un giro completo. L'angolo retto si riconosce subito perché i due lati sono perpendicolari, come avviene fra il pavimento e una parete di casa o fra le due lancette dell'orologio alle ore 9. Un angolo ottuso lo possiamo osservare nello spicchio di una pizza tagliata in cinque parti uguali, dato che ognuno misura 72°… anzi no, fai attenzione: 72° è acuto, mentre tagliando la pizza in tre parti otteniamo spicchi da 120°, che sono ottusi. Riconoscere subito la famiglia ti permette di accorgerti immediatamente se una misura che hai trovato è ragionevole.
Angoli particolari: complementari, supplementari, esplementari
Quando due angoli vengono accostati possono formare insieme un'ampiezza notevole, e in questo caso ricevono un nome speciale. Due angoli si dicono complementari se la loro somma è 90°, supplementari se la loro somma è 180° ed esplementari se la loro somma è 360°. Se conosci uno dei due angoli puoi sempre trovare l'altro con una semplice sottrazione: per esempio il complementare di 35° è 90° − 35° = 55°, mentre il supplementare di 110° è 180° − 110° = 70°. Due angoli si chiamano invece adiacenti quando hanno il vertice in comune, un lato in comune e gli altri due lati appartenenti alla stessa retta: in questo caso sono sempre supplementari fra loro. Pensa alle lancette dell'orologio alle 10 e 30, che formano un angolo di circa 135°: il suo supplementare è 45°, esattamente l'angolo che vediamo sull'altra metà del quadrante. Un secondo esempio sono i pannelli di una finestra a libro: quando uno si apre di 70°, l'altro deve aprirsi di 110° perché restino in linea retta sul telaio.
Angoli opposti al vertice e bisettrice
Quando due rette si incontrano in un punto, formano quattro angoli che si dispongono a coppie con una proprietà importante: gli angoli opposti al vertice, cioè quelli che si trovano l'uno di fronte all'altro senza condividere lati, hanno sempre la stessa ampiezza. Lo puoi osservare a un incrocio stradale a forma di X: le due strade che si tagliano creano quattro angoli e quelli opposti sono uguali, mentre quelli adiacenti sono supplementari. Esiste poi una semiretta speciale che parte dal vertice di un angolo e lo divide in due parti perfettamente uguali: si chiama bisettrice, e ogni angolo ne possiede una sola. Per trovarla con il goniometro basta misurare l'ampiezza totale dell'angolo, dividerla per due e tracciare la semiretta corrispondente. Per esempio, la bisettrice di un angolo di 80° lo separa in due angoli da 40° ciascuno. Un altro esempio quotidiano è la piega centrale di una mappa stradale aperta a libro: se la apertura misura 120°, la piega rappresenta la sua bisettrice e forma due angoli da 60°.
Operazioni con le misure degli angoli
Nelle operazioni con angoli espressi in gradi, primi e secondi devi seguire una logica sessagesimale, ricordando che 60 primi formano un grado e 60 secondi formano un primo. Per sommare due angoli incolonni gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi, poi se i secondi superano 60 ne riporti un primo, e se i primi superano 60 ne riporti un grado. Per esempio 32° 45' 30" sommato a 18° 22' 50" dà 50° 67' 80", che semplifichi in 50° 68' 20" e infine in 51° 8' 20". Nelle sottrazioni, se il numero da sottrarre è più grande, devi fare il prestito dall'unità superiore, trasformando un grado in 60 primi o un primo in 60 secondi. Per moltiplicare per un numero intero moltiplichi separatamente gradi, primi e secondi e poi normalizzi il risultato; per dividere fai il contrario, partendo dai gradi. Un esempio utile è calcolare l'ampiezza di ciascuno spicchio quando dividi un angolo di 144° in 6 parti uguali: 144° : 6 = 24°.
Ricorda
- Un angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette con la stessa origine, chiamata vertice.
- L'ampiezza si misura in gradi, primi e secondi: 1° = 60' e 1' = 60".
- Le famiglie principali sono: nullo (0°), acuto (<90°), retto (90°), ottuso (fra 90° e 180°), piatto (180°), concavo (fra 180° e 360°) e giro (360°).
- Due angoli sono complementari se sommano 90°, supplementari se sommano 180°, esplementari se sommano 360°.
- Gli angoli opposti al vertice sono uguali; la bisettrice divide un angolo in due parti uguali.
- Il goniometro si usa appoggiando il centro sul vertice e uno zero su un lato dell'angolo.
Piccolo esercizio di verifica (sul quaderno): disegna un angolo AÔB di 130°. Misuralo con il goniometro per controllare di averlo tracciato bene, poi traccia la sua bisettrice OC e indica con il goniometro l'ampiezza dei due nuovi angoli AÔC e CÔB. Infine, calcola e scrivi il supplementare e il complementare (se esiste) dell'angolo AÔB, motivando la tua risposta.